równanie stycznej do krzywej

[matematix]

Wyznacz równanie stycznej do krzywej \(\displaystyle{ x^{3}- y^{3}+x-y=0}\) w punkcie \(\displaystyle{ A =(2,2)}\). Jak się robi tego typu zadania?

[octahedron]

\(\displaystyle{ F(x,y)=x^{3}- y^{3}+x-y=0\\
F_y(x,y)=-3y^2-1\\
F_x(x,y)=3x^2+1\\
F_y(2,2)\ne 0}\)

zatem w otoczeniu \(\displaystyle{ (2,2)}\) istnieje \(\displaystyle{ y=y(x)}\) i wtedy:

\(\displaystyle{ y'(2)=-\frac{F_x(2,2)}{F_y(2,2)}=1\\
y=x+b\\
2=2+b\Rightarrow b=0\\
y=x}\)

lub

\(\displaystyle{ x^{3}- y^{3}+x-y=0\\
(x-y)(x^2+xy+y^2)+x-y=0\\
(x-y)(x^2+xy+y^2+1)=0 \Leftrightarrow y=x\\}\)

czyli równanie przedstawia prostą \(\displaystyle{ y=x}\)

[matematix]

Dziękuję