styczne do okręgu

[Aniela_masia]

Znajdź równania prostych stycznych do dwóch okręgów: \(\displaystyle{ (x-3)^2+(y-1)^2=8}\) i \(\displaystyle{ (x+5)^2+y^2=12}\).

[lukasz1804]

Jeśli \(\displaystyle{ Ax+By+C=0}\) jest styczną do obu okręgów, to jej odległość od środka każdego okręgu musi być równa długości promienia tego okręgu. Ta obserwacja prowadzi do układu równań postaci

\(\displaystyle{ \begin{cases}\dfrac{|3A+B+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=2\sqrt{2} \\ \dfrac{|-5A+C|}{|A|}=2\sqrt{3} \end{cases}}\).

Można go rozwiązać podnosząc przedtem równoważnie oba równania stronami do kwadratu. Zauważ też, że choć układ ma więcej niewiadomych niż równań, to można go łatwo rozwiązać przyjmując, że niewiadoma \(\displaystyle{ A}\) (lub \(\displaystyle{ B}\) jak kto woli, ale tylko jedna z nich, niekoniecznie obie jednocześnie) przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 0}\) lub \(\displaystyle{ 1}\).
(Jeśli \(\displaystyle{ A=0}\), to styczna jest prostą równoległą do osi \(\displaystyle{ OX}\), jeśli zaś \(\displaystyle{ A\ne 0}\) to można bez wątpienia założyć, że \(\displaystyle{ A=1}\) dzieląc równanie stycznej stronami przez \(\displaystyle{ A}\).)

Rozważając oba przypadki zauważysz, że \(\displaystyle{ A=0}\) nie zachodzi, gdyż to założenie prowadzi do rozwiązania \(\displaystyle{ B=C=0}\), które to rozwiązanie nie opisuje prostej. Zatem można śmiało przyjąć, że \(\displaystyle{ A=1}\) i zająć się rozwiązaniem układu równań już tylko z dwiema niewiadomymi.