Napisz równanie okręgu

[matematykapl]

Napisz równanie okręgu przechodzącego przez punkty \(\displaystyle{ A = (4; -2), B = (-2; 5),}\) jeśli wiesz, że jego środek należy do prostej \(\displaystyle{ y = x + 1}\).

Wyliczyłem: \(\displaystyle{ a = - \frac{1}{2}, b = \frac{1}{2}}\) Mam równanie okręgu, równe \(\displaystyle{ (x + \frac{1}{2}) ^{2} + (y - \frac{1}{2}) ^{2} = r ^{2}}\) - jak wyliczyć promień? Nie mam \(\displaystyle{ c}\).

[anna_]

Współrzędne środka są źle policzone.

Żeby policzyć promień wystarczy podstawić współrzędne punktu\(\displaystyle{ A}\) lub \(\displaystyle{ B}\)

[matematykapl]

Robiłem z tego: \(\displaystyle{ (4 - a) ^{2} + (-2 - b) ^{2} = (-2 - a) ^{2} + (5 - b) ^{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ b = a + 1}\).

Może pomyliłem gdzieś znaki. Jak będzie \(\displaystyle{ (-2 - b) ^{2} = (4 + 4b + b ^{2})}\), czy tutaj obowiązuje wzór i powinno być \(\displaystyle{ (4 -4b + b ^{2})}\)?

[anna_]

Robiłem z tego: \(\displaystyle{ (4 - a) ^{2} + (-2 - b) ^{2} = (-2 - a) ^{2} + (5 - b) ^{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ b = a + 1}\).

wstaw za \(\displaystyle{ b}\) co trzeba, poredukuj potem licz

Z tego wyjdzie:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a=- \frac{5}{2} \\ b=- \frac{3}{2} \end{cases}}\)

[matematykapl]

Właśnie, jak będzie z tym \(\displaystyle{ b}\)? Dobrze je wyznaczyłem, nie wiem jak to się stało. Skąd takie \(\displaystyle{ b}\) wyszło?

[anna_]

Wszystko jest dobrze.
Jeżeli środek okręgu ma leżeć na prostej \(\displaystyle{ y=x+1}\), to jego współrzędne muszą to równanie spełniać, czyli są postaci: \(\displaystyle{ (a, a+1)}\)

[matematykapl]

A nie powinno wyjść \(\displaystyle{ a = \frac{5}{2}}\)? To równanie tej prostej będzie równe: \(\displaystyle{ (x + \frac{5}{2}) ^{2} + (y + \frac{3}{2}) ^{2} = 8,5}\), czy: \(\displaystyle{ (x - \frac{5}{2}) ^{2} + (y - \frac{3}{2}) ^{2} = 8,5}\)?

[anna_]

Po pierwsze te równania to nie są równania prostych tylko okręgów.
Po drugie żaden z tych okręgów nie przechodzi przez punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\).

[matematykapl]

Czyli jak to zadanie zrobić? Co tu jest nie tak? Mi wychodzi, że \(\displaystyle{ a = \frac{5}{2}, b = \frac{7}{2}}\), czyli równanie okręgu to: \(\displaystyle{ (x - \frac{5}{2}) ^{2} + (y - \frac{7}{2}) ^{2} = 18,5}\) - tak ma być?

[anna_]

\(\displaystyle{ \begin{cases} (4 - a) ^{2} + (-2 - b) ^{2} = (-2 - a) ^{2} + (5 - b) ^{2} \\ b = a + 1 \end{cases}}\)

Z tego wyjdzie:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a=- \frac{5}{2} \\ b=- \frac{3}{2} \end{cases}}\)