Oblicz pole części wspólnej figur

[matematykapl]

Figura \(\displaystyle{ F _{1}}\) opisana jest nierównością \(\displaystyle{ x ^{2} + (y - 2) ^{2} \le 4,}\) a figura \(\displaystyle{ F _{2}}\) - nierównością: \(\displaystyle{ x ^{2} + (y - 4) ^{2} \le 4}\). Oblicz pole części wspólnej tych figur.

Te obie figury to koło, tak? Czyli mamy promień = 2, no i \(\displaystyle{ S _{1} = (0; 2), S _{2} = (0; 4)}\) - tak? Jak to zadanie wykonać? Mam to narysować, czy obejdzie się bez rysowania?

[anna_]

Bez rysunku się raczej nie obędzie.
Licz kolejno:
Współrzędne punktów przecięcia się kół.
Kąt między ramionami "górnego" trójkąta o wierzchołkach: środek górnego okręgu i punkty przecięcia się okręgów.
Pole odcinka koła
Pole odcinka pomnóż przez \(\displaystyle{ 2}\)

[Sherlock]

Mam to narysować, czy obejdzie się bez rysowania?

W analitycznej zawsze warto rysować. Tutaj po narysowaniu w układzie współrzędnych można przejść do rozwiązania na "papierze gładkim" (okręgi przecinają wzajemnie swoje środki).

Połowę szukanej części wspólnej wyliczysz z różnicy pola wycinka koła i trójkąta ABC

[matematykapl]

Jak wyliczyć to pole wycinka koła? Obliczyłem pole trójkąta ABC, które wyszło mi równe: \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) - tak będzie?

[Sherlock]

Jaką miarę ma kąt ABC? Znając ten kąt będziesz mógł określić jaką częścią całego koła jest szukany wycinek. Pole trójkąta policzone OK.

[matematykapl]

Ten kąt ABC będzie miał miarę \(\displaystyle{ 120 ^{0}}\) - czy jak? Czyli ten trójkąt to \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) całego wycinka?

[Sherlock]

To wycinek stanowi \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) koła

[matematykapl]

To po co liczyć pole trójkąta, czyli ten wycinek będzie miał pole równe: \(\displaystyle{ \frac{\pi r ^{2} }{3}}\)? Czy jak?

[Sherlock]

To po co liczyć pole trójkąta

Popatrz na rysunek po prawej. Szukamy pola żółtego fragmentu - to różnica pola wycinka i pola trójkąta.

czyli ten wycinek będzie miał pole równe: \(\displaystyle{ \frac{\pi r ^{2} }{3}}\)

Nie. Pole koła o promieniu \(\displaystyle{ 2}\) (zerknij na rysunek) wynosi \(\displaystyle{ 4\pi}\), zatem pole wycinka w naszym zadaniu to \(\displaystyle{ \frac{4\pi}{3}}\)

Gdy wyliczysz już pole żółtego fragmentu po prawej, pomnóż wynik przez dwa - otrzymasz pole żółtej piłki rugby z lewej