Wykaż, że trójkąt jest rozwartokątny

matematykapl · Post autor: **matematykapl** » 14 kwie 2012, o 16:10

Wykaż, że trójkąt, którego wierzchołkami są punkty \(\displaystyle{ A = (5; 4), B = (-1; 2), C = (2; 0),}\) jest rozwartokątny. Wyznacz taki punkt \(\displaystyle{ D}\), aby czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) był równoległobokiem.

Najpierw zabrałem się za ten równoległobok i ten punkt \(\displaystyle{ D}\) wyszedł mi równy: \(\displaystyle{ (8; 2)}\) - dobrze? Nie wiem, jak się zabrać za ten trójkąt, jak wykazać, że jest rozwartokątny?

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 14 kwie 2012, o 16:30

Aby wykazać, że trójkąt jest rozwartokątny, wyznacz współrzędne wektorów \(\displaystyle{ \vec{AB}, \vec{AC}, \vec{BC}}\), oblicz wartości iloczynów skalarnych dla każdej pary podanych wektorów i wykaż, że jeden z tych iloczynów ma wartość ujemną.

Punkt \(\displaystyle{ D}\) wyznaczysz z warunków \(\displaystyle{ \vec{AB}=\vec{DC}, \vec{AD}=\vec{BC}}\).

matematykapl · Post autor: **matematykapl** » 14 kwie 2012, o 16:39

Dobrze wyszedł mi ten punkt \(\displaystyle{ D}\)?

Coś chyba namieszałem, bo wyszły mi dwie wartości ujemne.

Wyliczyłem i wyszło mi: \(\displaystyle{ \vec{AB} = [-3; -4], \vec{BC} = [3; -2], \vec{AB} = [-6; -2]}\) No i dalej: \(\displaystyle{ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 26, \vec{AC} \cdot \vec{BC} = -1, \vec{AB} \cdot \vec{BC} = -14}\) - gdzie popełniłem błąd?

Marmat · Post autor: **Marmat** » 14 kwie 2012, o 18:42

Wektory, które bierzesz muszą mieć parami wspólny początek, który jest wierzchołkiem trójkąta.
I tak : BA i BC, AC i AB, CA i CB.
W tym przypadku kąt rozwarty jest tylko między wektorami: CA i CB.
Pozdrawiam.

Sherlock · Post autor: **Sherlock** » 14 kwie 2012, o 18:50

matematykapl pisze:Wykaż, że trójkąt, którego wierzchołkami są punkty \(\displaystyle{ A = (5; 4), B = (-1; 2), C = (2; 0)}\), jest rozwartokątny.

Bez zabawy z wektorami - policz długość AB, BC, CA. Kąt o największej mierze leży naprzeciwko najdłuższego boku - z tw. cosinusów wylicz cosinus tego kąta. Jeżeli cosinus wyjdzie ujemny, ten kąt jest rozwarty.

anna_ · Post autor: **anna_** » 14 kwie 2012, o 18:53

\(\displaystyle{ D}\) jestt dobrze.

matematykapl · Post autor: **matematykapl** » 21 kwie 2012, o 22:25

Wyliczyłem długości boków: \(\displaystyle{ \left| BC\right| = \sqrt{13}, \left| CA\right| = 5, \left| AB\right| = 2 \sqrt{10}}\). Czyli wychodzi, że najdłuższy jest bok AB, ale jak to wyliczyć z cosinusa, jak to rozwartokątny? Jak to zrobić?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 21 kwie 2012, o 22:32

295530.htm

achsinus · Post autor: **achsinus** » 21 kwie 2012, o 23:18

Zastosuj tw. kosinusów.

matematykapl · Post autor: **matematykapl** » 24 kwie 2012, o 22:43

Wyszło mi, że przeciwprostokątna okazała się trochę za długa, wychodzi: \(\displaystyle{ 40 = 38}\), czyli, że kąt ma więcej niż \(\displaystyle{ 90 ^{0}}\) i jest rozwartokątny, czy jak to uzasadnić?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 25 kwie 2012, o 08:17

Jeśli masz \(\displaystyle{ a^2+b^2<c^2}\) to trójkąt jest rozwartokątny (i takie jest uzasadnienie)

Sherlock · Post autor: **Sherlock** » 25 kwie 2012, o 19:24

matematykapl pisze:Wyliczyłem długości boków: \(\displaystyle{ \left| BC\right| = \sqrt{13}, \left| CA\right| = 5, \left| AB\right| = 2 \sqrt{10}}\). Czyli wychodzi, że najdłuższy jest bok AB, ale jak to wyliczyć z cosinusa, jak to rozwartokątny? Jak to zrobić?

Tw. cosinusów:
\(\displaystyle{ |AB|^2=|BC|^2+|CA|^2-2|BC||CA|cos\alpha \\
40=13+25-10 \sqrt{13} cos\alpha \\
cos\alpha= \frac{-2}{10 \sqrt{13} } = \frac{- \sqrt{13} }{65}}\)
cosinus ujemny - kąt rozwarty