Mam problem z podpunktem c) - Jak to udowodnić? ;/
Dana jest prosta k o równaniu \(\displaystyle{ y= 2x - 1}\), prosta m o równaniu \(\displaystyle{ y= 1}\) i punkt \(\displaystyle{ P(5, 4)}\).
a) Wyznacz współrzędne punktów \(\displaystyle{ P1}\) i \(\displaystyle{ P2}\) , wiedząc, że \(\displaystyle{ P1}\) jest obrazem punktu \(\displaystyle{ P}\) w symetrii osiowej względem prostej \(\displaystyle{ k}\), a jest obrazem punktu \(\displaystyle{ P}\) w symetrii osiowej względem prostej \(\displaystyle{ m}\).
b) Wyznacz punkty \(\displaystyle{ Q}\), \(\displaystyle{ S}\) przecięcia prostej \(\displaystyle{ P1P2}\) odpowiednio z prostą \(\displaystyle{ k}\) i prosta \(\displaystyle{ m}\).
c) Wykaż, że spośród wszystkich trójkątów, których jednym z wierzchołków jest punkt \(\displaystyle{ P}\), drugim wierzchołkiem jest punkt należący do prostej \(\displaystyle{ k}\), a trzecim - punkt należący do prostej \(\displaystyle{ m}\), najmniejszy obwód ma trójkąt \(\displaystyle{ PQS}\).
Wykaż, że trójką PQS ma najmniejszy obwód
-
- Użytkownik
- Posty: 3568
- Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 910 razy
Wykaż, że trójką PQS ma najmniejszy obwód
Założmy, że punkty \(\displaystyle{ Q}\) i \(\displaystyle{ S}\) wybieramy dowolnie na obu prostych. Z własności symetrii wynika, że \(\displaystyle{ |PQ|=|PP_1|}\) i \(\displaystyle{ |PS|=|PP_2|}\), czyli obwód trójkąta \(\displaystyle{ PQS}\) jest równy długości łamanej \(\displaystyle{ P_1QSP_2}\). Długość tej łamanej będzie najmniejsza, gdy punkty \(\displaystyle{ P_1,Q,S,P_2}\) znajdują się na jednej prostej, czyli tak jak w zadaniu.