Równanie okręgu symetrycznego do okręgu

matematykapl · Post autor: **matematykapl** » 13 kwie 2012, o 19:46

Wyznacz równanie okręgu symetrycznego do okręgu \(\displaystyle{ x ^{2} + 6x + y ^{2} + 4y = 3}\) względem prostej \(\displaystyle{ y = -3x - 1}\)

Wyznaczyłem środek okręgu, wyszedł mi on równy \(\displaystyle{ (-3; -2)}\). Dalej wyznaczyłem prostą prostopadłą do tej, którą mam w zadaniu i wyszła mi ona równa \(\displaystyle{ \frac{1}{3}x - 1}\). Następnie chciałem wyznaczyć punkt wspólny moich dwóch prostych, no wychodzi \(\displaystyle{ -3x - 1 = \frac{1}{3}x - 1}\) - no i wyjdzie mi zero? Coś namieszałem. Jak się za to zadanie zabrać?

Sherlock · Post autor: **Sherlock** » 13 kwie 2012, o 19:54

1. Wyznacz równanie prostej prostopadłej do \(\displaystyle{ y = -3x - 1}\) przechodzącej przez środek okręgu.
2. Wyznacz współrzędne punktu przecięcia się dwóch prostych.
3. Punkt otrzymany powyżej to środek odcinka którego końcami są środki obu okręgów. Ze wzoru na współrzędne środka odcinka wylicz środek drugiego okręgu.
Narysuj a wszystko będzie jasne

octahedron · Post autor: **octahedron** » 13 kwie 2012, o 19:56

Nie, dobrze, wychodzi \(\displaystyle{ x=0}\), czyli \(\displaystyle{ y=-1}\), mamy środek odcinka i jeden koniec, wyznaczamy drugi koniec.

matematykapl · Post autor: **matematykapl** » 13 kwie 2012, o 20:04

Czyli dobrze robiłem? To obliczyłem punkt przecięcia się moich prostych, który wynosi \(\displaystyle{ (0; -1)}\) - tak, co dalej z tym?

Sherlock · Post autor: **Sherlock** » 13 kwie 2012, o 20:06

Tak. Współrzędne punktu przecięcia to (0,-1). Pozostaje wyliczyć środek drugiego okręgu.

matematykapl · Post autor: **matematykapl** » 13 kwie 2012, o 20:08

Uda się to obliczyć z wektorów? Czy jakim innym sposobem?

Sherlock · Post autor: **Sherlock** » 13 kwie 2012, o 20:11

Najszybciej ze współrzędnych środka odcinka:
\(\displaystyle{ x_S= \frac{x_A+x_B}{2} \\ y_S= \frac{y_A+y_B}{2}}\)
gdzie środek odcinka ma współrzędne \(\displaystyle{ (x_S,y_S)}\), zaś końce odcinka \(\displaystyle{ (x_A,y_A)}\) oraz \(\displaystyle{ (x_B,y_B)}\)

matematykapl · Post autor: **matematykapl** » 13 kwie 2012, o 20:18

Ale ja mam jeden koniec, tak? Jak obliczyć drugi? Bo już mi się pomieszało.

octahedron · Post autor: **octahedron** » 13 kwie 2012, o 20:30

Masz środek i jeden koniec, czyli:

\(\displaystyle{ 0= \frac{-3+x_B}{2} \\ -1= \frac{-2+y_B}{2}}\)

no i wyliczamy \(\displaystyle{ (x_B,y_B)}\)

matematykapl · Post autor: **matematykapl** » 13 kwie 2012, o 20:34

Czyli wyjdzie równanie okręgu równe: \(\displaystyle{ (x + 3) ^{2} + (y + 0) ^{2} = 16}\) - tak? Czyli: \(\displaystyle{ (x + 3) ^{2} + y ^{2} = 16}\) Czy jak?

octahedron · Post autor: **octahedron** » 13 kwie 2012, o 21:10

\(\displaystyle{ (x-3)^2+y^2=16}\)

matematykapl · Post autor: **matematykapl** » 13 kwie 2012, o 21:12

A no tak, faktycznie, dzięki.