podać równie płaszczyzny

[ola2502]

Podać równanie płaszczyzny przechodzącej przez prostą powstałą z przecięcia płaszczyzn P1:x+2y-z-5=3 oraz P2:2x-y+4z-8=10 i odcinającej na osiach OX oraz Oy odcinki równej długości .

Nie mam pojęcia jak się za to zabrać

[octahedron]

\(\displaystyle{ P_1:\,x+2y-z-8=0\\
P_2:\,2x-y+4z-18=0\\}\)

Ogólne równanie płaszczyzny przechodzącej przez wspólną prostą \(\displaystyle{ P_1}\) i \(\displaystyle{ P_2}\) ma postać:

\(\displaystyle{ \alpha(x+2y-z-8)+\beta(2x-y+4z-18)=0}\)

Punkty przecięcia z osiami \(\displaystyle{ OX}\) i \(\displaystyle{ OY}\) mają odpowiednio współrzędne \(\displaystyle{ (x_o,0,0)}\) i \(\displaystyle{ (0,y_o,0)}\), czyli:

\(\displaystyle{ \begin{cases}\alpha(x_o-8)+\beta(2x_o-18)=0\\\alpha(2y_o-8)+\beta(-y_o-18)=0\\|x_o|=|y_o| \end{cases}\\
\begin{cases}\alpha(x_o-2y_o)+\beta(2x_o+y_o)=0\\|x_o|=|y_o| \end{cases}\\
\begin{cases}\alpha(x_o-2y_o)+\beta(2x_o+y_o)=0\\x_o=y_o \end{cases}\,\vee\quad \begin{cases}\alpha(x_o-2y_o)+\beta(2x_o+y_o)=0\\x_o=-y_o\end{cases}\\\\
-\alpha x_o+3\beta x_o=0\quad\vee\quad 3\alpha x_o+\beta x_o=0\\\\
\alpha=3\beta \quad\vee\quad \beta=-3\alpha\\\\
\alpha=3\beta:\\
3\beta(x+2y-z-8)+\beta(2x-y+4z-18)=0\\
3(x+2y-z-8)+(2x-y+4z-18)=0\\
P_3:\,5x+5y+z-42=0\\\\
\beta=-3\alpha:\\
\alpha(x+2y-z-8)-3\alpha(2x-y+4z-18)=0\\
(x+2y-z-8)-3(2x-y+4z-18)=0\\
P_3:\,-5x+5y-13z+46=0}\)

[ola2502]

Dzięki wielkie mam tylko jedno pytanie dlaczego w tym układzie równaj rozpatrujemy, że \(\displaystyle{ x _{0}=-y _{0} ?}\)

[octahedron]

Bo płaszczyzna może przeciąć oś po stronie dodatniej lub ujemnej, długość odcinków to \(\displaystyle{ |x_o|}\) i \(\displaystyle{ |y_o|}\), muszą być równe, więc rozpatrujemy przypadki, gdy \(\displaystyle{ x_o}\) i \(\displaystyle{ y_o}\) mają znaki takie same lub przeciwne.