Układ nierówności - rysunek

[fidget]

Rozwiąż graficznie układ nierówności:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y \ge \left| x - 2\right| \\ x ^{2} + y ^{2} \le 2xy + 4 \end{cases}}\)




Wyszło mi takie coś:


W odpowiedziach jest jednak coś innego.
A przede wszystkim - nie ma w nim okręgu!

[scyth]

A skąd tam okrąg? Masz przecież
\(\displaystyle{ (x-y)^2 \le 4}\)
a to jest taki pas.

[janka]

Wykresem drugiej nierówności nie jest okrąg.
Rozpisz ją

\(\displaystyle{ (x ^{2}-2xy+y ^{2})-4 \le 0}\)

\(\displaystyle{ (x-y) ^{2} -4 \le 0}\)

z różnicy kwadratów:

\(\displaystyle{ (x-y-2)(x-y+2) \le 0}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y-2 \le 0 \\ x-y+2 \ge 0\end{cases}}\)

lub

\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y-2 \ge 0 \\ x-y+2 \le 0 \end{cases}}\)

czyli

\(\displaystyle{ \begin{cases} y \ge x-2 \\y \le x+2 \end{cases}}\)

lub

\(\displaystyle{ \begin{cases} y \le x-2 \\ y \ge x+2 \end{cases}}\)

drugi układ jest sprzeczny,więc rozwiązaniem pierwszego jest pas płaszczyzny między prostymi

\(\displaystyle{ y=x-2}\) i \(\displaystyle{ y=x+2}\)

-- 11 kwi 2012, o 02:16 --

... 1893a.html

[fidget]

Fajnie to sprowadziliście, ale to i tak do mnie nie przemawia:

\(\displaystyle{ x ^{2} + y ^{2} \le 2xy + 4 \\
x ^{2} + y ^{2} -2xy - 4\le 0}\)

Wzór na okrąg:
\(\displaystyle{ x ^{2} + y ^{2} -2ax -2by +c \\
r^{2} = a^{2} + b^{2} - c > 0}\)

Czyli:
\(\displaystyle{ a= 1 \\
b = 0 \\
r = \sqrt{5}}\)



EDIT://
I tak poza tym... Dlaczego jest to tak, a nie inaczej?

\(\displaystyle{ (x-y-2)(x-y+2) \le 0}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y-2 \le 0 \\ x-y+2 \ge 0\end{cases}}\)

lub

\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y-2 \ge 0 \\ x-y+2 \le 0 \end{cases}}\)

[scyth]

We wzorze na okrąg nie masz iloczynu zmiennych, nie jest to równanie okręgu.

\(\displaystyle{ a \cdot b < 0 \\
\Rightarrow (a<0 \ \wedge b > 0) \ \vee \ (a>0 \ \wedge b<0)}\)

[fidget]

A czy w takim wypadku:
\(\displaystyle{ (x-y)^2 \le 0}\)

Mogę podzielić całe wyrażenie przez:
\(\displaystyle{ (x-y)}\)

Aby otrzymać:
\(\displaystyle{ x \le y}\)
?

Czy muszę rozpatrzeć to tak jak tutaj:

\(\displaystyle{ a \cdot b < 0 \\ \Rightarrow (a<0 \ \wedge b > 0) \ \vee \ (a>0 \ \wedge b<0)}\)

?

Aby otrzymać jednak:
\(\displaystyle{ x \le y \\
x \ge y}\)
?

[scyth]

Kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze większy lub równy zero, więc po pierwsze nie możesz podzielić (bo nie dzielimy przez zero), a po drugie z nierówności:
\(\displaystyle{ (x-y)^2 \le 0}\)
wynika \(\displaystyle{ x-y=0}\)
co zresztą otrzymałeś rozpisując według standardowego sposobu.