odległośc punktu od powierzchni

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
natalia92x
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 9 kwie 2012, o 11:31
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa

odległośc punktu od powierzchni

Post autor: natalia92x »

Obliczyć odległość punktu A(0,3,0) od powierzchni \(\displaystyle{ z=\frac{y}{x}}\)
Odp to \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\)
To mój pierwszy wpis, bardzo proszę o pomoc
dexter90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 391
Rejestracja: 11 lis 2011, o 09:48
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 32 razy

odległośc punktu od powierzchni

Post autor: dexter90 »

Musisz skorzystać ze wzoru na odległość dwóch punktów w przestrzeni. No i powierzchnia = \(\displaystyle{ xz-y=0}\)

Pozdrawiam
natalia92x
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 9 kwie 2012, o 11:31
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa

odległośc punktu od powierzchni

Post autor: natalia92x »

A czy mógłbyś to rozwiązać, bo nadal nie wiem jak to zrobić?
dexter90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 391
Rejestracja: 11 lis 2011, o 09:48
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 32 razy

odległośc punktu od powierzchni

Post autor: dexter90 »

Mógłbym, daj mi 10 min i zedytuje ten post.

EDIT:

Ze wzoru na odległość 2 punktów od siebie w przestrzeni otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \sqrt{(0-x)^2+(3-y)^2+(0-z)^2}}\)\(\displaystyle{ (*)}\)

Przekształcamy naszą powierzchnie: \(\displaystyle{ y=xz}\), teraz wiemy jak możemy zastąpić nasze wyrażenie \(\displaystyle{ (*)}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{(0-x)^2+(3-y)^2+(0-z)^2}=\sqrt{(0-x)^2+(3-xz)^2+(0-z)^2}=\sqrt{x^2+x^2z-6xz+z^2+9}}\)

Teraz musimy sobie zdefiniować funkcję dwóch zmiennych, z której policzymy minimum. A minimum będziemy podejrzewać z miejsc zerowych pierwszej pochodnej funkcji \(\displaystyle{ f(x,z)}\):

\(\displaystyle{ f(x,z)=x^2+x^2z-6xz+z^2+9}\)

W tym celu musimy policzyć pochodne cząstkowej tej funkcji i otrzymujemy:

\(\displaystyle{ P_{1}=(-\sqrt{2};-\sqrt{2}) \\ P_{2}=(\sqrt{2};\sqrt{2}) \\ P_{3}=(0;0)}\)

Po wyliczeniu 2 pochodnych wychodzi nam że w punktach owych mamy właśnie odpowiedź \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\)

Nie pokazałem jak liczę pochodne cząstkowe, ani jak to wyliczyłem. Za dużo

Pozdrawiam
Ostatnio zmieniony 9 kwie 2012, o 12:31 przez dexter90, łącznie zmieniany 2 razy.
natalia92x
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 9 kwie 2012, o 11:31
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa

odległośc punktu od powierzchni

Post autor: natalia92x »

Dziękuję bardzo
ODPOWIEDZ