Obliczyć odległość punktu A(0,3,0) od powierzchni \(\displaystyle{ z=\frac{y}{x}}\)
Odp to \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\)
To mój pierwszy wpis, bardzo proszę o pomoc
odległośc punktu od powierzchni
-
- Użytkownik
- Posty: 13
- Rejestracja: 9 kwie 2012, o 11:31
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
odległośc punktu od powierzchni
Musisz skorzystać ze wzoru na odległość dwóch punktów w przestrzeni. No i powierzchnia = \(\displaystyle{ xz-y=0}\)
Pozdrawiam
Pozdrawiam
-
- Użytkownik
- Posty: 13
- Rejestracja: 9 kwie 2012, o 11:31
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
odległośc punktu od powierzchni
Mógłbym, daj mi 10 min i zedytuje ten post.
EDIT:
Ze wzoru na odległość 2 punktów od siebie w przestrzeni otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \sqrt{(0-x)^2+(3-y)^2+(0-z)^2}}\)\(\displaystyle{ (*)}\)
Przekształcamy naszą powierzchnie: \(\displaystyle{ y=xz}\), teraz wiemy jak możemy zastąpić nasze wyrażenie \(\displaystyle{ (*)}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{(0-x)^2+(3-y)^2+(0-z)^2}=\sqrt{(0-x)^2+(3-xz)^2+(0-z)^2}=\sqrt{x^2+x^2z-6xz+z^2+9}}\)
Teraz musimy sobie zdefiniować funkcję dwóch zmiennych, z której policzymy minimum. A minimum będziemy podejrzewać z miejsc zerowych pierwszej pochodnej funkcji \(\displaystyle{ f(x,z)}\):
\(\displaystyle{ f(x,z)=x^2+x^2z-6xz+z^2+9}\)
W tym celu musimy policzyć pochodne cząstkowej tej funkcji i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ P_{1}=(-\sqrt{2};-\sqrt{2}) \\ P_{2}=(\sqrt{2};\sqrt{2}) \\ P_{3}=(0;0)}\)
Po wyliczeniu 2 pochodnych wychodzi nam że w punktach owych mamy właśnie odpowiedź \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\)
Nie pokazałem jak liczę pochodne cząstkowe, ani jak to wyliczyłem. Za dużo
Pozdrawiam
EDIT:
Ze wzoru na odległość 2 punktów od siebie w przestrzeni otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \sqrt{(0-x)^2+(3-y)^2+(0-z)^2}}\)\(\displaystyle{ (*)}\)
Przekształcamy naszą powierzchnie: \(\displaystyle{ y=xz}\), teraz wiemy jak możemy zastąpić nasze wyrażenie \(\displaystyle{ (*)}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{(0-x)^2+(3-y)^2+(0-z)^2}=\sqrt{(0-x)^2+(3-xz)^2+(0-z)^2}=\sqrt{x^2+x^2z-6xz+z^2+9}}\)
Teraz musimy sobie zdefiniować funkcję dwóch zmiennych, z której policzymy minimum. A minimum będziemy podejrzewać z miejsc zerowych pierwszej pochodnej funkcji \(\displaystyle{ f(x,z)}\):
\(\displaystyle{ f(x,z)=x^2+x^2z-6xz+z^2+9}\)
W tym celu musimy policzyć pochodne cząstkowej tej funkcji i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ P_{1}=(-\sqrt{2};-\sqrt{2}) \\ P_{2}=(\sqrt{2};\sqrt{2}) \\ P_{3}=(0;0)}\)
Po wyliczeniu 2 pochodnych wychodzi nam że w punktach owych mamy właśnie odpowiedź \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\)
Nie pokazałem jak liczę pochodne cząstkowe, ani jak to wyliczyłem. Za dużo
Pozdrawiam
Ostatnio zmieniony 9 kwie 2012, o 12:31 przez dexter90, łącznie zmieniany 2 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 13
- Rejestracja: 9 kwie 2012, o 11:31
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa