Wykazać, że wektor jest normalny (prostopadły) do sfery.

[Stud3nt91]

Wykazać, że wektor \(\displaystyle{ \vec{U}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}}\) jest normalny do powierzchni sfery o równaniu:
\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=a^2}\)

Każdej powierzchni można przyporządkować pewien wektor. Iloczyn skalarny tego wektora powierzchniowego i wektora U powinny być równe 0.

Jaki wektor jest prostopadły do powierzchni? Tym wektorem jest gradient. Tyle, że gradient liczymy dla pola skalarnego. Jak zacząć.

Pozdrawiam,

[szw1710]

Jest to wektor wodzący punktu \(\displaystyle{ (x,y,z)}\) sfery. Jest więc po prostu równoległy do promienia, a promień jest prostopadły do sfery. Tyle geometrii. Pole skalarne to \(\displaystyle{ F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2.}\) Promień \(\displaystyle{ a}\) jest dowolny.

[Stud3nt91]

Gradient z definicji jest prostopadły, a wyraża się wzorem:
\(\displaystyle{ gradF=2x\vec{i}+2y\vec{j}+2z\vec{k}}\)

Zachodzi więc relacja:
\(\displaystyle{ grad F = 2 \vec{U}}\)

Ponieważ gradient jest prostopadły do powierzchni, stąd wynika że wektor U też musi być prostopadły, bo to tylko przeskalowanie, kierunek jest ten sam.