Przez punkty poprowadź okrąg

[jbeb]

Przez punkty \(\displaystyle{ A(-4,-1)}\) i \(\displaystyle{ B(4,5)}\) poprowadź taki okrąg, żeby jego punkty przecięcia z okręgiem \(\displaystyle{ (x+3)^{2}+ y^{2} =9}\) leżały na prostej przechodzącej przez \(\displaystyle{ M=(-3,0)}\).

To \(\displaystyle{ M}\) to będzie środek okręgu, \(\displaystyle{ r=3}\). Nie wiem czy słusznie, ale założyłam, że środek tego szukanego okręgu należy to tego pierwszego, czyli tego o środku \(\displaystyle{ M}\)... chociaż mam pewne wątpliwości bo od godziny się męczę nad tym zadaniem i nic sensownego nie wychodzi...

[Simon86]

Na pewno nie będą to współśrodkowe okręgi bo gdyby punkty ich przecięcia leżały na jednej prostej przechodzącej przez ich środek to musiały by się nałożyć na siebie

[kamil13151]

Mam jako taki pomysł. Na początku obliczamy punkty przecięcia się prostej przechodzącej przez \(\displaystyle{ M}\) i okręgu, czyli:
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x+3)^{2}+ y^{2} =9 \\ y=ax+3a \end{cases}}\)
Wyjdą dwa punkty uzależnione od zmiennej \(\displaystyle{ a}\), oznaczmy je jako \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\).
Współrzędne szukanego środka okręgu \(\displaystyle{ S=(c,d)}\). Teraz równanie odległości od punktów \(\displaystyle{ |AS|=|BS|}\) i wyjdzie równanie uzależnione od jednej zmiennej, wtedy środek okręgu będzie miał współrzędne \(\displaystyle{ S=\left( c, 2-\frac{4c}{3} \right)}\).
Teraz budujemy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} |SX|=|SY| \\ |SP|^2+|PA|^2=|AS|^2 \end{cases}}\)
gdzie \(\displaystyle{ P}\) to połowa odcinka \(\displaystyle{ AB}\).
Jeszcze zostaje rozpatrzenie przypadku, gdy \(\displaystyle{ a=0}\) i gdy odcinek \(\displaystyle{ AB}\) jest średnicą (ale tak nie będzie).
Nie sprawdzałem tego pomysłu.

[jbeb]

To jest odpowiedź: \(\displaystyle{ x^{2}+ y^{2}-9x+8y-45=0}\). Jak komuś tak wyjdzie, to niech się podzieli swoimi rachunkami, założeniami...-- 25 mar 2012, o 21:21 --Tak jak piszesz na początku, że wyjdą 2 punktu uzależnione od \(\displaystyle{ a}\)... no to jakoś nie bardzo chce się to \(\displaystyle{ a}\) dać uzależnić, nie mogę tego w żaden sposób pogrupować...