3 trudne dowody z okręgami

[krzysiu776]

Prosze o pomoc w rozwiązaniu tych zadań :

1. W okrąg wpisano dwa trapezy w ten sposób, że ich boki są parami równoległe. Udowodnij, że przekątne w obu trapezach mają równe długości.

2. Niech U1, U2, V1, V2 będą punktami na okręgu O(S,r). Niech punkt Q będzie punktem przecięcia prostych prU1U2 i prV1V2 (zakładamy, że te proste się przecinają ) i niech punkt Q' będzie punktem przecięcia przekątnych U1V2 i V1U2. Udowodni, że punkt Q' leży na biegunowej punktu Q względem okręgu O(S,r).

Objaśnienia :
O - okrąg
S - środek okręgu
r - promień okręgu

3. Dany jest okrąg O(S,r) i punkt Q≠S taki, że fS,r(Q)≠0. Niech l będzie sieczną przechodzącą przez punkt Q. Udowodnij, że punkty przecięcia siecznej l z okręgiem oraz punkt Q i punkt przecięcia siecznej z biegunową pQ tworzy czwórkę harmoniczną.

[martaa]

1. Skoro boki tych trapezów są parami równoległe, to kąt ostry przy podstawie pierwszego trapezu róny jest kątowi ostremu przy podstwie drugiego trapezu (są to oczywiście trapezy równoramienne, bo wpisane w okrąg). Zatem kąty te są oparte na łukach równych długości (nazwijmy te łuki ABC i PQR), a zatem AC=PR, czyli przekątne tych trapezów (AC i PR) mają równe długości.

[krzysiu776]

dzięki