W trójkącie ABC dane są

[jbeb]

W trójkącie ABC dane są: wierzchołek\(\displaystyle{ A(0,0)}\), wektor boku \(\displaystyle{ \vec{BC}=[5,10]}\) i równanie dwusiecznej kąta \(\displaystyle{ C: x-y-4=0}\). Znaleźć równania boków trójkąta.

W podpowiedziach mają, że między bokiem BC a dwusieczną jest kąt równy \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) (znaczy jego tg jest tyle równy) i później już wszytko wychodzi tylko jak oni to obliczyli...? To z współrzędnych wektora można wyznaczyć równanie prostej...?

[kamil13151]

Mamy dwusieczną kąta: \(\displaystyle{ y=x-4}\). Weźmy sobie \(\displaystyle{ 2}\) punkty leżące na tej dwusiecznej: \(\displaystyle{ E=(b,b-4), \ D=(b+1, b-3)}\), zatem \(\displaystyle{ \vec{DE}=[-1,-1]}\). Korzystamy z iloczynu skalarnego i wyliczamy kąt pomiędzy wektorami \(\displaystyle{ DE}\) i \(\displaystyle{ BC}\), więc: \(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{-5-10}{ \sqrt{2} \cdot 5 \sqrt{5} } =-\frac{3 \sqrt{10} }{10}}\). Potrzebujemy kąta ostrego, więc \(\displaystyle{ \cos (180^{\circ} - \alpha)=\frac{3 \sqrt{10} }{10}}\) i to jest właśnie kąt ostry pomiędzy wektorami. Korzystając z jedyni trygonometrycznej, dostajemy \(\displaystyle{ \tg (180^{\circ} - \alpha)= \frac{1}{3}}\).

[jbeb]

skąd ten mianownik jak liczysz \(\displaystyle{ cos}\)? I tam ma chyba być, że kąt pomiędzy \(\displaystyle{ DE}\)i \(\displaystyle{ BC}\)...?

[kamil13151]

\(\displaystyle{ \alpha = \angle \left(\vec{DE},\vec{BC} \right) \\ \cos \alpha = \frac{ \vec{DE} \circ \vec{BC} }{|\vec{DE}| \cdot |\vec{BC}|} \\ \\ |\vec{DE}|= \sqrt{(-1)^2+(-1)^2}= \sqrt{2} \\ |\vec{BC}|= \sqrt{5^2+10^2}= 5\sqrt{5}}\)

[jbeb]

Iloczyn skalarny ładnie mi wytłumaczyłeś ale jak ty z tego cosinusa tangens zrobiłeś to nie wiem... jedynka trygonometryczna to mi tam sinus ewentualnie zrobi...

[kamil13151]

Chyba zapomniałaś, że: \(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}\).

[jbeb]

ZapomniałAś, możesz to rozpisać...?

[kamil13151]

\(\displaystyle{ \cos \beta =\cos (180^{\circ} - \alpha)=\frac{3 \sqrt{10} }{10}}\)

Podstawiasz do jedynki trygonometrycznej i wyliczasz \(\displaystyle{ \sin \beta}\).

Potem do wzorku na tangens i masz to czego oczekujesz.