Kwadrat opisany na okręgu

[squared]

Mam zadanie.
W prostej o równaniu \(\displaystyle{ 2x + y - 6 = 0}\) zaiwera się bok kwadratu opisanego na okręgu o równaniu \(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} - 2y - 4=0}\). Oblicz współrzędne wierzchołków tego kwadratu.

Generalnie rozwiązałem to zadanie, mam prawidłowe wyniki, ale w pewnych momentach mam dwa przypadki z równania kwadratowego i muszę je odrzucić i chciałbym abyście mi powiedzieli na jakiej podstawie mogę napisać tam sprzeczność. By rozjaśnić najpierw szybko zarysuję rozwiązanie:

Oznaczam \(\displaystyle{ A, B, C, D}\) - wierzchołki kwadratu. Podaną prostą traktuję jako prostą \(\displaystyle{ AB}\). I tak najpierw z układu równań wyliczam punkt przecięcia okręgu z daną prostą. Mam zatem środek odcinka AB: \(\displaystyle{ S_{AB}=(2;2)}\). Dalej korzystam, że \(\displaystyle{ \left| S_{AB}A\right|=r}\) oraz, że punkt \(\displaystyle{ A}\), należy do prostej \(\displaystyle{ AB}\). Mam zatem układ równań z którego powstaje równanie kwadratowe. Mam dwa rozwiązania z niego: \(\displaystyle{ A=(3;0) \vee A=(1;4)}\). No i tutaj by trzeba było coś wyeliminować. Jednak po chwilowej refleksji doszedłem, że w ten sposób otrzymałem po prostu oba punkty - \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\). Zatem tutaj niczego nie muszę odrzucać. Dalej z wektorów: \(\displaystyle{ \vec{S_{AB}S_{DC}} = 2 \vec{S_{AB}S} = \left[ 4;-2\right]}\) . Z tego wyliczyłem \(\displaystyle{ \vec{S_{AB}S}}\), a potem \(\displaystyle{ S_{DC}}\), czyli środek odcinka \(\displaystyle{ DC}\). Znowu ponownie tworzę układ równań: \(\displaystyle{ \begin{cases} 2r=|AD|\\ r=|S_{DC}D| \end{cases}}\). Z tego otrzymuję, że: \(\displaystyle{ D=(-1;-2) \vee D=(-1;4)}\). Teraz tak. Pierwszy wynik jest dobry - zgodny z odpowiedzią. Na jakiej zasadzie, na mocy czego mogę odrzucić drugi punkt?. Podobnie jest z punktem C. Mam układ równań: \(\displaystyle{ \begin{cases} 2r=|BC| \\ r=|S_{DC}C| \end{cases}}\). I otrzymuję: \(\displaystyle{ C=(-3;2) \vee C=( \frac{1}{3}; -0,4}\). Znowu ten sam problem. Na jakiej podstawie odrzucić drugi przypadek? Pierwszy jest prawidłowy (zgodny z odpowiedziami).

Uff, namęczyłem się z tym pisaniem tego rozwiązania, ale bez tego ani rusz, by zrozumieć mój problem. Proszę o pomoc, ponieważ naprawdę nie mam pojęcia na jakiej zasadzie uznac, że te przypadki są złe. Z góry dziękuję za pomoc

[lukasz1804]

Po pierwsze małego sprostowania wymagają współrzędne wektora \(\displaystyle{ \vec{S_{AB}S_{DC}}}\), ale nie w tym jest sedno problemu.

Żaden z zapisanych przez Ciebie układów równań nie prowadzi do jednoznacznego podania współrzędnych punktów \(\displaystyle{ C,D}\). Rozważasz bowiem następującą sytuację: kreślisz okrąg o promieniu \(\displaystyle{ 2r}\) i środku w jednym z punktów \(\displaystyle{ A, B}\) oraz okrąg o promieniu \(\displaystyle{ r}\) i środku w \(\displaystyle{ S_{DC}}\). Te dwa okręgi w każdym z przypadków (opisanych układami) mają po dwa punkty wspólne, ale tylko jeden z nich jest wierzchołkiem kwadratu (drugi leży we wnętrzu).
Z pewnością zauważysz tę niejasność po sporządzeniu odpowiedniego rysunku tych dwóch okręgów.

Lepszą metodą byłoby moim zdaniem wyznaczenie równania prostej \(\displaystyle{ CD}\) jako równoległej do \(\displaystyle{ AB}\) i przechodzącej przez \(\displaystyle{ S_{DC}}\) oraz znalezienie jej punktów wspólnych z okręgiem o środku \(\displaystyle{ S_{DC}}\) i promieniu \(\displaystyle{ r}\).

[squared]

A czy naszkicowanie ryskunku nie wystarczy jako uzasadnienie odrzucenia tych błędnych punktów. Tzn. chodzi mi, że zilustruję te 4 wierzchołki i dodatkowa pokażę na rysunku, że dwa dodatkowe nie są wierzchołkami tego kwadratu. Można tak?

Jak rozumiem twoja metoda będzie całkowicie jednoznaczna, tak ?
Więc próbowałem twoją metodą i mi nie wyszło.
Mówisz, że mają być to pkt. przecięcia prostej \(\displaystyle{ CD}\) z okręgiem o promieniu \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\) i środku \(\displaystyle{ S_{CD}}\).

Zatem prosta \(\displaystyle{ AB}\) to: \(\displaystyle{ y=y=-2x+6}\). Prosta \(\displaystyle{ CD}\) jest równoległa do prostej \(\displaystyle{ AB}\), zatem prosta \(\displaystyle{ CD}\) ma postać \(\displaystyle{ y=-2x + b}\).

Dalej: \(\displaystyle{ S_{CD} \in pr. CD \Rightarrow 4+b = 0 \Rightarrow b=-4 \Rightarrow pr. CD: y=-2x-4}\). Ów okręg, o któym piszesz to ma takie równanie: \(\displaystyle{ (x+2)^{2}+y^{2}=5}\). Mam więc układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x+2)^{2}+y^{2}=5 \\ y=-2x-4 \end{cases}}\).
Wychodzą mi rozwiążania: \(\displaystyle{ \begin{cases} x=0 \\ y=-4 \end{cases} \vee \begin{cases} x=-4 \\ y=4 \end{cases}}\). Te odpowiedzi nie są zgodne z odpowiedziami z książki i są inne niż w moim rozwiązaniu (sposobie). Gdzie popełniłem błąd? Może jakiś rachunkowy, gdzieś się wdarł? Proszę o pomoc .

[lukasz1804]

Rozwiąż ponownie układ \(\displaystyle{ \begin{cases} (x+2)^2+y^2=5 \\ y=-2x-4 \end{cases}}\).

[squared]

Już znalazłem błąd. Teraz wszystko się zgadza .