Wierzchołki trójkąta leżące na hiperboli.

[Tmkk]

Zadanie, które chciałbym rozwiązać brzmi:

Udowodnić, że jeżeli wierzchołki trójkąta leżą na hiperboli o równaniu \(\displaystyle{ xy = k^2}\), gdzie \(\displaystyle{ k}\) jest daną liczbą różną od zera, to punkt przecięcia jego wysokości również leży na tej hiperboli.

Próbowałem napisać równania prostych, jako wysokości tego trójkąta i znaleźć ich punkt przecięcia, ale nic nie wychodziło. Jeżeli jednak jest to właściwy sposób, to napiszę, jak liczyłem.

[Glo]

Mi wychodzi. Oznaczmy dowolne punkty na hiperboli jako:

\(\displaystyle{ A(x_A;\frac{1}{x_A})}\)
\(\displaystyle{ A(x_B;\frac{1}{x_B})}\)
\(\displaystyle{ A(x_C;\frac{1}{x_C})}\)

Znajdź dwie dowolne proste, będące bokami trójkąta. Następnie poprowadź prostą prostopadłą do danego boku przechodzącą przez trzeci punkt. Np. gdy wyliczysz prostą zawierającą bok AB, prowadzisz prostopadłą (współczynnik kierunkowy spełnia \(\displaystyle{ a_1=-\frac{1}{a}}\)) do niego przechodzącą przez C. Będzie to oczywiście wysokość. Wylicz jeszcze jedną wysokość, tak samo jak poprzednio. Mając dwie wysokości, możesz przyrównać równania prostych żeby znaleźć punkt przecięcia. Powinieneś otrzymać, że wysokości przetną się w punkcie o współrzędnych:

\(\displaystyle{ x=\frac{k^4}{x_Ax_Bx_C}}\)

A stąd już łatwo zauważysz, że podstawiając ten x do równania którejś z wysokości otrzymasz:

\(\displaystyle{ y=\frac{x_Ax_Bx_C}{k^2}}\)

Kładąc np. \(\displaystyle{ \frac{k^4}{x_Ax_Bx_C}=P}\)

Mamy, że:

\(\displaystyle{ y=\frac{k^2}{P}}\)

Czyli takiej postaci, o jaką nam chodziło.

[Tmkk]

Ja robiłem tak, że najpierw liczyłem wektor \(\displaystyle{ AB}\) a potem równanie prostej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ C}\), prostopadłej do wektora i to była jedna wysokość. Miałem potem strasznie dużo do przemnożenia i stwierdziłem, ze jest źle. Chociaż tam też wychodziły \(\displaystyle{ k^4}\), więc może doszedłbym do tego samego.

Ale tak, jak napisałeś mi wyszło, dzięki bardzo.