Zbiór punktów przekształcenia w symetrii środkowej

[pandyzio]

Witam,

mam takie zadanie:

Wiadomo, że prosta o równaniu \(\displaystyle{ y = 2x + 3}\) jest obrazem prostej o równaniu \(\displaystyle{ y= 2x - 3}\) w symetrii względem pewnego punktu \(\displaystyle{ A}\). Czy punkt \(\displaystyle{ A}\) jest tylko jeden? Jeżeli nie, to jaki zbiór tworzą wszystkie takie punkty?

Zadanie niby łatwe, nawet bez wykresu widać na oko, że punkty te układają się w linię \(\displaystyle{ y=2x}\).
Ale jak to wykazać?
Wyprowadziłem sobie takie wzory:
\(\displaystyle{ X=(x,y) \\
X'=(x',y') \\
A=(x_{A},y_{A}) \\
S_{A}(X)=(X') \\
x'=2x_{A}-x \\
y'=2y_{A}-y}\)

I teraz pytanie: Czy można te wzory zastosować w jakiś sposób do rozwiązania tego zadania?
Czy pozostaje tylko rozwiązywanie "na oko" polegające na szukaniu takiej prostej, która jest równo odległa od dwóch pozostałych?

[anna_]

Może tak:
\(\displaystyle{ B}\) - punkt leżący na prostej \(\displaystyle{ y = 2x + 3}\)
\(\displaystyle{ B=(x_B,y_B)=(x_B,2x_B+3)}\)

\(\displaystyle{ C}\) - punkt leżący na prostej \(\displaystyle{ y = 2x - 3}\)
\(\displaystyle{ C=(x_C,y_C)=(x_C,2x_C-3)}\)

\(\displaystyle{ A=(x_{A},y_{A})}\)

\(\displaystyle{ S_{A}(B)=(C)}\)

\(\displaystyle{ x_A= \frac{x_B+x_C}{2}}\)
\(\displaystyle{ y_A= \frac{y_B+y_C}{2} = \frac{2x_B+3+2x_C-3}{2}= \frac{2(x_B+x_C)}{2}=2x_A}\)

\(\displaystyle{ y=2x}\)

[ares41]

Niech \(\displaystyle{ k:y=2x-3}\) i \(\displaystyle{ l:y=2x+3}\)
Weźmy \(\displaystyle{ B(x_B,\ 2x_B-3) \in k}\), wtedy \(\displaystyle{ \vec{OB} = \left[ x_B,\ 2x_B-3 \right]}\)
Niech \(\displaystyle{ A(x_A,\ y_A)}\), skąd \(\displaystyle{ \vec{OA} = \left[ x_A,\ y_A \right]}\).
\(\displaystyle{ \vec{OB'}= \mbox{Ref}_{ \vec{OA} }{ \left( \vec{OB} \right) }=2 \vec{OA}- \vec{OB}=[2x_A-x_B,\ 2y_A-2x_B+3]}\)
Zatem \(\displaystyle{ B'(2x_A-x_B,\ 2y_A-2x_B+3)}\), ale \(\displaystyle{ B' \in l:y=2x+3}\), więc:
\(\displaystyle{ y_{B'}=2x_{B'}+3\\
2y_A-2x_B+3=2(2x_A-x_B)+3}\)
skąd po uproszczeniu dostajemy \(\displaystyle{ y_A=2x_A}\)
skąd \(\displaystyle{ A\in \left\{ \left( x,y \right) \in \mathbb{R}^2 : y=2x \right\}}\)