Problem z prostą parametryczną

[An-chan]

Hej, czy ktoś byłby uprzejmy sprawdzić mój tok rozumowania w zadaniu, na którym wyłożyłam się podczas egzaminu z algebry? Poprawka tuż tuż, więc będę bardzo wdzięczna za pomoc

Prosta p dana jest parametrycznie:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x=-1+2t\\y=-t\\z= 2+3t \end{array}}\)

Znaleźć: prostą przechodzącą przez punkt P(2,-3,1) przecinąjącą prostą p pod kątem prostym, następnie równanie płaszczyzny wyznaczonej przez obie proste oraz odległość tej płaszczyzny od początku układu współrzędnych.

Mój tok myślenia był następujący:
1. Prosta p przechodzi przez punkt (-1,0,2), jej wektor kierunkowy to \(\displaystyle{ \left[2,-1,3 \right]}\). Wektor normalny wyznaczyłam mnożąc wektorowo wektor \(\displaystyle{ \left[ -1,0,2\right]}\) przez wektor kierunkowy: \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} i&j&k\\-1&0&2\\2&-1&3\end{bmatrix}}\) = \(\displaystyle{ \left[ 2,7,1\right]}\) = \(\displaystyle{ \vec{n}}\).

I tu mam dwa pytania: czy jest to dobra metoda wyznaczenia wektora normalnego? Następnie, czy mając wektor normalny prostej mogę stworzyć równanie ogólne prostej, czy ma to sens matematyczny?

Dalej, wektor normalny prostej p stanie się wektorem kierunkowym prostej q, przechodzącej przez punkt P(2,-3,1), czyli:

q: \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} x\\y\\z\end{bmatrix}}\) = \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2\\-3\\1\end{bmatrix}}\) + t \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2\\7\\1\end{bmatrix}}\).

2. Aby znaleźć równanie płaszczyzny wyznaczonej przez te dwie proste prostopadłe, pomnożyłam wektorowo dwa dowolne (?) wektory należące do obu tych prostych, powstanie trzeci wektor, który będzie prostopadły do obu prostych jednocześnie i stanie się wektorem normalnym szukanej płaszczyzny. Wybrałam wektory kierunkowe obu prostych, i też nie jestem pewna poprawności wyboru:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} i&j&k\\2&-1&3\\2&7&1\end{bmatrix}}\) = \(\displaystyle{ \left[ -11,2,8\right]}\)

Teraz mając wektor normalny płaszczyzny można podstawić jego współczynniki do równania płaszczyzny, czyli: \(\displaystyle{ -11x + 2y + 8z + d = 0}\). Dalej podstawiając do równania dowolny punkt płaszczyzny np. (-1,0,2) wyliczam d: \(\displaystyle{ -11\cdot(-1)+2\cdot0+8\cdot2+d=0}\), stąd \(\displaystyle{ d=-27}\). Tu też coś mi się nie zgadza w rachunkach, bo gdy podstawiam punkt P(2,-3,1), to d wychodzi mi całkiem inne...czyli coś musiałam zrobić nie tak i nie potrafię znaleźć błędu.

3. Mając już równanie płaszczyzny i aby wyliczyć jej odległość od początku układu współrzędnych wystarczy znaleźć wektor łączący punkt (0,0,0) z dowolnym punktem należącym do płaszczyzny. Odległość ta będzie równa długości rzutu tego wektora na wektor normalny płaszczyzny.

Dziękuję z góry za pomoc

[octahedron]

I tu mam dwa pytania: czy jest to dobra metoda wyznaczenia wektora normalnego? Następnie, czy mając wektor normalny prostej mogę stworzyć równanie ogólne prostej, czy ma to sens matematyczny?

Otrzymamy wektor normalny, ale takich wektorów w przestrzeni jest nieskończenie wiele - np. jeśli poprowadzimy płaszczyznę prostopadłą do prostej,to każdy wektor, który leży w tej płaszczyźnie jest normalny do prostej. Nie ma więc gwarancji, że otrzymamy proste, które się przecinają.

Prosta przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ A=(-1,0,2)}\) i ma wektor kierunkowy \(\displaystyle{ \vec{u}=[2,-1,3]}\), prosta prostopadła ma przechodzić przez \(\displaystyle{ P=(2,-3,1)}\), szukamy jej wektora kierunkowego \(\displaystyle{ \vec{v}}\).
\(\displaystyle{ \vec{AP}=[3,-3,-1]}\)

Składowa \(\displaystyle{ \vec{AP}}\) równoległa do \(\displaystyle{ \vec{u}}\):

\(\displaystyle{ \vec{AP}_\parallel=\frac{\left( \vec{AP}\cdot\vec{u}\right)}{|\vec{u}| }\cdot\frac{\vec{u}}{|\vec{u}|}=\left( \vec{AP}\cdot\vec{u}\right)\cdot\frac{\vec{u}}{|\vec{u}|^2}=\left( [3,-3,-1]\cdot[2,-1,3]\right)\cdot\frac{[2,-1,3]}{14}=\\=6\cdot\frac{[2,-1,3]}{14}=\left[ \frac{6}{7},-\frac{3}{7},\frac{9}{7}\right]}\)

Składowa \(\displaystyle{ \vec{AP}}\) prostopadła do \(\displaystyle{ \vec{u}}\):

\(\displaystyle{ \vec{AP}_\perp=\vec{AP}-\vec{AP}_\parallel=[3,-3,-1]-\left[ \frac{6}{7},-\frac{3}{7},\frac{9}{7}\right]=\left[ \frac{15}{7},-\frac{18}{7},-\frac{16}{7}\right]=\frac{1}{7}[15,-18,-16]}\)

Możemy więc przyjąć \(\displaystyle{ \vec{v}=[15,-18,-16]}\), zatem prosta prostopadła ma równanie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=15t+2\\y=-18t-3\\z=-16t+1\end{cases}}\)

Teraz wektor normalny płaszczyzny:

\(\displaystyle{ \vec{u}\times\vec{v}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&-1&3\\15&-18&-16\end{vmatrix}=[70,77,-21]=7[10,11,-3]}\)

przyjmujemy \(\displaystyle{ \vec{n}=[10,11,-3]}\)

Płaszczyzna przechodzi przez \(\displaystyle{ P=(2,-3,1)}\), więc jej równanie:

\(\displaystyle{ 10(x-2)+11(y+3)-3(z-1)=0\\
10x+11y-3z+16=0}\)

Odległość płaszczyzny \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\) od punktu \(\displaystyle{ (x_o,y_o,z_o)}\) dana jest wzorem:

\(\displaystyle{ d=\frac{|Ax_o+By_o+Cz_o+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}}\)

Więc odległość naszej płaszczyzny od punktu \(\displaystyle{ (0,0,0)}\) wynosi:

\(\displaystyle{ d=\frac{16}{\sqrt{10^2+11^2+(-3)^2}}=\frac{16}{\sqrt{230}}}\)

[An-chan]

Teraz już rozumiem, jak dobrze wyznaczyć wektor normalny prostej! Zrobiłam błąd na początku i to przekreśliło całe dalsze rozumowanie. Bardzo Ci dziękuję za wyjaśnienie