Wykazanie równości (iloczyn skalarny i wektorowy)

[Matej91]

a) Korzystając z prawoskrętnego układu współrzędnych XYZ wykazać, że:
\(\displaystyle{ i \times i=j \times j=k \times k=0}\) oraz \(\displaystyle{ i \times j=k}\), \(\displaystyle{ k \times i=j}\), \(\displaystyle{ j \times k=i}\).

b)Korzystając z definicji iloczynu skalarnego \(\displaystyle{ a \cdot b}\), oraz faktu, że \(\displaystyle{ a \cdot b=a _{x}b _{x}+a _{y}b _{y}+a _{z}b _{z}}\) obliczyć zawartość kąta zawartego między dwoma wektorami
\(\displaystyle{ a=3i+3j-3k}\) oraz \(\displaystyle{ b=2i+j+3k}\)

[szw1710]

Też bym to zrobił w oparciu o definicję. Układ prawoskrętny - oznacza to, że zwrot iloczynu wektorowego określa reguła śruby prawej - nakrętka kręcona w prawo na prawym gwincie wkręca się.

[Matej91]

To jest rozwiązanie? ;D

[szw1710]

\(\displaystyle{ i\times j}\) jest wektorem prostopadłym do obu z nich, więc leży na osi \(\displaystyle{ z}\) (zaczepiony w początku układu). Z prawoskrętności układu kręcąc na prawym gwincie od \(\displaystyle{ i}\) do \(\displaystyle{ j}\) mamy obrót w lewo, więc nakrętka się wykręca i zwrot wektora \(\displaystyle{ i\times j}\) jest zgodny ze zwrotem osi \(\displaystyle{ z.}\) Długość: iloczyn długości to jeden, a kąt między wektorami jest prosty i jego sinus to też jedynka, więc długość jest jednostkowa. A zatem \(\displaystyle{ i\times j=k.}\) Reszta identycznie.

[Matej91]

Dodałem podpunkt b) z którym też mam problem.

Korzystając z \(\displaystyle{ a \cdot b=a _{x}b _{x}+a _{y}b _{y}+a _{z}b _{z}}\) otrzymałem:

\(\displaystyle{ a \cdot b=3 \cdot 2+3 \cdot 1+(-3) \cdot 3}\)

\(\displaystyle{ a \cdot b=6+3-9}\)

\(\displaystyle{ a \cdot b=0}\)

Nie wiem czy to dobrze zrobiłem, ale jeśli tak to co dalej z tym?

[szw1710]

Cosinus kąta między wektorami liczymy z definicji iloczynu skalarnego:

\(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{a\cdot b}{|a|\cdot |b|}}\)

i prawą stronę wyliczasz w oparciu o współrzędne wektorów. W Twoim przypadku już iloczyn skalarny jest zerowy. Co stąd wynika? Jest taki fakt. Też definicja iloczynu skalarnego tu ingeruje.

[Matej91]

Dzięki za wzór ale z tego co widzę to będzie \(\displaystyle{ \cos\alpha=0=90stopni}\)

[szw1710]

\(\displaystyle{ \cos\alpha=0\implies\alpha=90^{\circ}}\)

Zły zapis i nie chodzi mi tu o symbol stopnia. Ale konkluzja poprawna - wektory są prostopadłe.