Prostokąt ABCD jest wpisany w okrąg \(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} + 4x +6y -12 = 0}\). Bok AB jest zawarty w prostej \(\displaystyle{ 2x + y - 3 = 0}\). Znajdź współrzędne wierzchołków prostokąta.
Proszę o jak najszybszą pomoc. Z góry dzięki!!
prostokąt wpisany w okrąg- znaleźć współrzędne wierz
-
wb
- Użytkownik
- Posty: 3507
- Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Brodnica
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1260 razy
prostokąt wpisany w okrąg- znaleźć współrzędne wierz
Współrzędne punktów A oraz B znajdziesz rozwiązując układ równań złożony z równania okręgu i prostej.
Odszukaj współrzędne środka okręgu S. Nastepnie współrzędne C znajdziesz np. korzystając z tego, że S jest środkiem odcinak AC. Analogicznie D, korzystając z tego, że S jest srodkiem BD.
Odszukaj współrzędne środka okręgu S. Nastepnie współrzędne C znajdziesz np. korzystając z tego, że S jest środkiem odcinak AC. Analogicznie D, korzystając z tego, że S jest srodkiem BD.
-
yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
prostokąt wpisany w okrąg- znaleźć współrzędne wierz
Najpierw trzeba rozwiązać taki układzik :
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+4x+6y-12=0\\2x+y-3=0\end{array}}\)
Z drugiego wyznaczamy y i podstawiamy do 1:
\(\displaystyle{ x^2+(3-2x)^2+4x+6(3-2x)-12=0\\
5x^2-20x+15=0\\
x^2-4x+3=0\\
(x-3)(x-1)=0\\
x=3\vee x=1}\)
Stąd mamy dwa rozwiązania i tym samym dwa pierwsze punkty:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}x=3\\y=-3\end{array}\\
ft\{\begin{array}{l}=1\\y=1\end{array}}\)
\(\displaystyle{ A=(3;-3), B=(1;1)}\)
Teraz można zrobić tak:
Przekształcamy podane równanie okręgu do ogólnego:
\(\displaystyle{ (x^2+4x+4)+(y^+6y+9)-12-13=0\\
(x+2)+(y+3)=5^2\\}\)
Mamy wyznaczony środek okręgu \(\displaystyle{ S=(-2;-3)}\)Teraz przekształcamy dwa poprzednie punkty względem tego środka by znaleźć dwa pozostałe.
Korzystamy z tego że punt S jest środkiem przekątnych prostokąta.
Mamy punkt C:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}\frac{3+x_c}{2}=-2\\ \frac{-3+y_c}{2}=-3\end{array}\\
ft\{\begin{array}{l}x_c=-7\\y_c=-3\end{array}}\)
I punkt D:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}\frac{1+x_d}{2}=-2\\ \frac{1+y_d}{2}=-3\end{array}\\
ft\{\begin{array}{l}x_d=-5\\y_d=-7\end{array}}\)
\(\displaystyle{ A=(3;-3)\\
B=(1;1)\\
C=(-7;-3)\\
D=(-5;-7)}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+4x+6y-12=0\\2x+y-3=0\end{array}}\)
Z drugiego wyznaczamy y i podstawiamy do 1:
\(\displaystyle{ x^2+(3-2x)^2+4x+6(3-2x)-12=0\\
5x^2-20x+15=0\\
x^2-4x+3=0\\
(x-3)(x-1)=0\\
x=3\vee x=1}\)
Stąd mamy dwa rozwiązania i tym samym dwa pierwsze punkty:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}x=3\\y=-3\end{array}\\
ft\{\begin{array}{l}=1\\y=1\end{array}}\)
\(\displaystyle{ A=(3;-3), B=(1;1)}\)
Teraz można zrobić tak:
Przekształcamy podane równanie okręgu do ogólnego:
\(\displaystyle{ (x^2+4x+4)+(y^+6y+9)-12-13=0\\
(x+2)+(y+3)=5^2\\}\)
Mamy wyznaczony środek okręgu \(\displaystyle{ S=(-2;-3)}\)Teraz przekształcamy dwa poprzednie punkty względem tego środka by znaleźć dwa pozostałe.
Korzystamy z tego że punt S jest środkiem przekątnych prostokąta.
Mamy punkt C:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}\frac{3+x_c}{2}=-2\\ \frac{-3+y_c}{2}=-3\end{array}\\
ft\{\begin{array}{l}x_c=-7\\y_c=-3\end{array}}\)
I punkt D:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}\frac{1+x_d}{2}=-2\\ \frac{1+y_d}{2}=-3\end{array}\\
ft\{\begin{array}{l}x_d=-5\\y_d=-7\end{array}}\)
\(\displaystyle{ A=(3;-3)\\
B=(1;1)\\
C=(-7;-3)\\
D=(-5;-7)}\)