Płaszczyzny i prosta, sprawdzenie poprawności rozwiązania

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
donmaciej
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 25 kwie 2010, o 13:58
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy

Płaszczyzny i prosta, sprawdzenie poprawności rozwiązania

Post autor: donmaciej »

\(\displaystyle{ l : \begin{cases} 3x-2y+z=3 \\ x-2y=0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \pi_1 : x+y+z+8=0}\)

Znajdź równanie ogólne płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) zawierającej prostą \(\displaystyle{ l}\) i prostopadłej do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi_1}\). Zbadaj wzajemne położenie prostej \(\displaystyle{ l}\) i krawędzi \(\displaystyle{ k}\) przecięcia się płaszczyzn \(\displaystyle{ \pi}\) i \(\displaystyle{ \pi_1}\).

Moje rozwiązanie (proszę o wskazanie błędów) :

Najpierw znajduję dowolne dwa punkty leżące na płaszczyźnie \(\displaystyle{ \pi_1}\) :
\(\displaystyle{ A=(-4,-2,-2), B=(-1,-6,-1)}\) wtedy wektor równoległy do tej płaszczyzny to \(\displaystyle{ v_2=(3,-4,1)}\) a prostopadły do niej, z równania ogólnego płaszczyzny, to \(\displaystyle{ v_1=(1,1,1)}\).

Mnożę wektorowo \(\displaystyle{ v_2}\) i \(\displaystyle{ v_1}\) aby otrzymać wektor prostopadły do szukanej płaszczyzny i otrzymuję \(\displaystyle{ u=(-5,-2,7)}\).

Korzystając z tego, że prosta należy do tej płaszczyzny biorę dowolny punkt \(\displaystyle{ C}\), przez który przechodzi prosta: np dla \(\displaystyle{ z=0}\), \(\displaystyle{ C=( \frac{3}{4}, \frac{3}{8}, 0)}\) i mając te dane wyznaczam wyraz wolny w równaniu ogólnym płaszczyzny ostatecznie otrzymując: \(\displaystyle{ \pi : -5x-2y+7z-\frac{9}{2} = 0}\)

Prosiłbym też o pomoc w dalszej części zadania tj. "Zbadaj wzajemne położenie prostej \(\displaystyle{ l}\) i krawędzi \(\displaystyle{ k}\) przecięcia się płaszczyzn \(\displaystyle{ \pi}\) i \(\displaystyle{ \pi_1}\)."
Marmat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 164
Rejestracja: 25 lip 2006, o 22:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 36 razy

Płaszczyzny i prosta, sprawdzenie poprawności rozwiązania

Post autor: Marmat »

Rozwiązanie jest błędne. Podana przez Ciebie płaszczyzna nie zawiera prostej l.
Nie można zupełnie dowolnie wybrać punktów płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi _1}\). W ten sposób znajdziesz równanie płaszczyzny prostopadłej, ale bez związku z prostą l.
Najpierw sprowadź równanie prostej l do postaci wektorowej.
Wektor kierunkowy [2,1,-4], równanie parametryczne:
\(\displaystyle{ \frac{x}{2}= \frac{y}{1}= \frac{z}{-4}=t}\)
Ten wektor [2,1,-4] i wektor normalny płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi_1}\): [1,1,1] pomnożone wektorowo dadzą wektor normalny płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\)(oba są do niej równoległe).
Znajdź punkt wspólny prostej l i płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi_1}\) (16,8,-32) i napisz równanie płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\):-3(x-16)-6(y-8)+z+32=0.
Prosta l i płaszczyzna \(\displaystyle{ \pi_1}\)mają jeden punkt wspólny i musi on należeć do krawędzi wspólnej obu płaszczyzn.
Wobec tego obie proste przecinają się w jednym punkcie.
Pozdrawiam.
ODPOWIEDZ