Równanie płaszczyzny

[kaleklol]

Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez pkt. B \(\displaystyle{ \left(2,2,0\right)}\)
i prostopadłej do wektora \(\displaystyle{ \vec{OB}}\),
gdzie O jest początkiem układu współrzędnych.
Niech C będzie pkt. leżącym na tej płaszczyźnie i na okręgu o środku w pkt. B i promieniu 2.
Znaleźć długość wektora \(\displaystyle{ \vec{OC}}\).

Nie mam zielonego pojęcia jak zabrać się za to zadanie. Jedyne co wyliczyłem to środek okręgu i wzór na okrąg.

[szw1710]

Płaszczyzna prostopadła do niezerowego wektora \(\displaystyle{ \vec{n}=[a,b,c]}\) i przechodząca przez punkt \(\displaystyle{ P(x_P,y_P,z_P)}\) ma równanie

\(\displaystyle{ a(x-x_P)+b(y-y_P)+c(z-z_P)=0\,.}\)

[kaleklol]

Tyle, że po podstawieniu wychodzi \(\displaystyle{ \left(2x-2y-8=0\right)}\).
Zamiast płaszczyzny wychodzi mi funkcja liniowa..i nadal nie wyjaśnia mi to rozwiązania.


P.S Bardzo bym prosił o pełne rozwiązanie tego zadania ponieważ jest mi potrzebne "na gwałt" a nadal nie mam bladego pojęcia jak się do tego dobrać. Geometria analityczna to nie jest mój konik.

[szw1710]

Na "gwałt" nie dam rozwiązania. Dam je z wytłumaczeniem za trzy godziny. Wtedy już chyba przestanie być potrzebne tak szybko. Cokolwiek to by nie miało znaczyć. Chyba że wyjaśnisz dlaczego potrzebujesz aż tak szybko.

[kaleklol]

Myślę, że 3 godziny to jeszcze przeboleje ;P Mam dzisiaj dopytkę z algebry resztę typów zadań, które będą do rozwiązania mam ogarniete Zostało tylko to jedno i spodziewam się, że napewno je dostane ponieważ poprzednim razem go praktycznie nie ruszyłem..

[szw1710]

Czy z pełną odpowiedzialnością oświadczysz, że nie jesteś w tej chwili na egzaminie?

[kaleklol]

Oświadczam z pełną odpopwiedzialnością, że nie dawno wstałem z łóżka bo dostałem informację, że po 17 moja grupa będzie odpytywana a byłem pewny, że stanie się to dopiero we wtorek.

[szw1710]

OK. A więc dostajemy

\(\displaystyle{ 2(x-2)+2(y-2)+0(z-0)=0,}\)

czyli

\(\displaystyle{ 2x+2y-8=0\\
x+y-4=0}\)

Nic w tym dziwnego. To równanie płaszczyzny, tyle, że \(\displaystyle{ z}\) tu nie występuje, co oznacza, że płaszczyzna jest równoległa do osi \(\displaystyle{ z.}\) Spróbuj to sobie narysować w układzie współrzędnych. Jak by ta płaszczyzna wyglądała na podstawie opisu, jaki przedstawiłeś.

[kaleklol]

Tam nie powinno być \(\displaystyle{ \left( 2x-2y-8=0\right)}\)?
No dobrze rozumiem do tego momentu.
Dalej podstawiając do wzoru otrzymuję wzór na równanie okręgu:
\(\displaystyle{ \left( x-2\right) ^{2}-\left( y-2\right)^{2}=4}\)
Moje ostatnie pytanie dotyczy wektora \(\displaystyle{ \vec{OC}}\).
Jaki moge zastosować wzór aby obliczyc współrzędne pkt. C?

[szw1710]

Poprawiłem, oczywiście \(\displaystyle{ 8.}\)

Drugą część zadania zrobisz wyobrażając to sobie geometrycznie. Ja tu widzę zastosowanie twierdzenia Pitagorasa i nic specjalnego nie trzeba liczyć. Zrób rysunek, a stanie się to całkiem jasne.

[kaleklol]

W sumie już sam się domyśliłem wkońcu to trójkąt prostokątny;P
Wielkie dzięki!