Obliczenie prostej, stycznej do krzywej.

[arczi100]

Znaleźć prostą styczną do krzywej \(\displaystyle{ y^{3} + x y^{2} +x=3}\) W punkcie \(\displaystyle{ (1,1)}\). Znam wzory na styczną do powierzchni i do wykresu funkcji, ale nie wiem jak obliczyć styczną do krzywej.

[Marmat]

zastosuj twierdzenie o funkcji uwikłanej. Dzięki niemu obliczysz pochodną funkcji \(\displaystyle{ y= \varphi (x)}\), a dalej już normalnie tak jak dla funkcji jednej zmiennej.
Pozdrawiam.

[arczi100]

Czy rozwiązanie będzie wyglądać tak:
\(\displaystyle{ 0 = y^{3} + x y^{2} + x - 3}\).
\(\displaystyle{ F'_x(x,y)= y^{2} + 1}\) \(\displaystyle{ F'(1,1)= 2}\)
\(\displaystyle{ F'_y(x,y)=3 y^{2} + x}\) \(\displaystyle{ F'(1,1)= 4}\)
\(\displaystyle{ 2(x-1)+4(y-1)=0}\) po wyliczeniu \(\displaystyle{ y=- \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}}\)
Byłbym wdzięczny gdyby ktoś mógł to sprawdzić.

[Marmat]

Źle obliczyłeś jedną z pochodnych cząstkowych:
\(\displaystyle{ F'_y(x,y)=3 y^{2} + 2xy, \ \ F'_y(1,1)=5}\)
\(\displaystyle{ y'(1)=- \frac{F'_x(1,1)}{F'_y(1,1)} =- \frac{2}{5}}\)
Szukana styczna to:
\(\displaystyle{ y-1=- \frac{2}{5}(x-1)}\)
Pozdrawiam.

[arczi100]

Rzeczywiście, mój błąd. Dziękuję za pomoc.