Obliczyć odległość punktu od prostej w przestrzeni

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
krzysk1992
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 10 wrz 2008, o 20:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce

Obliczyć odległość punktu od prostej w przestrzeni

Post autor: krzysk1992 »

Obliczyć odległość punktu (3, -1, -2) od prostej zadanej układem równań
2x + 3y - z + 3 = 0
3x + 2y + 2z -10 = 0

Ktoś podsunie pomysł jak się za to zabrać?
szw1710

Obliczyć odległość punktu od prostej w przestrzeni

Post autor: szw1710 »

Wyobraź sobie prostą i punkt A poza nią. Weź płaszczyznę prostopadłą do tej prostej i przechodzącą przez ten punkt. Znajdź punkt wspólny B prostej i płaszczyzny. Odległością punktu A od naszej prostej jest odległość AB.
Marmat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 164
Rejestracja: 25 lip 2006, o 22:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 36 razy

Obliczyć odległość punktu od prostej w przestrzeni

Post autor: Marmat »

Można prościej.
znajdź dwa punkty prostej \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\).
Wyznacz wektor \(\displaystyle{ PQ}\) równoległy do prostej. Niech nasz punkt nazywa się \(\displaystyle{ R}\).
Wyznacz wektor \(\displaystyle{ PR}\).
Odległość punktu \(\displaystyle{ R}\) od prostej oblicz ze wzoru:
\(\displaystyle{ d= \frac{ \left| \vec{PQ} \times \vec{PR}\right| }{\left| \vec{PQ} \right| }}\)
Pozdrawiam.
Ostatnio zmieniony 13 lut 2012, o 00:11 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa także do pojedynczych symboli.
szw1710

Obliczyć odległość punktu od prostej w przestrzeni

Post autor: szw1710 »

Tym niemniej uważam swoje rozwiązanie za intuicyjne. Twoje (nie sprawdzałem poprawności) opiera się na wzorach, które chyba trzeba zapamiętać. Znalezienie dwóch punktów na prostej - ta sama robota. I czasowo policzenie wg obu przepisów też jest porównywalne.
Awatar użytkownika
Inkwizytor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4105
Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 428 razy

Obliczyć odległość punktu od prostej w przestrzeni

Post autor: Inkwizytor »

Znajdź równanie ogólne płaszczyzny i podstaw do wzoru na odległość punktu od płaszczyzny.
szw1710

Obliczyć odległość punktu od prostej w przestrzeni

Post autor: szw1710 »

Inkwizytor, chyba od prostej. Jest taki gdzieś, ale znów trzeba go pamiętać.
lukasz1804
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

Obliczyć odległość punktu od prostej w przestrzeni

Post autor: lukasz1804 »

Można też rozwiązać problem bardziej elementarnie: wyznaczyć postać parametryczną prostej a potem dobrać wartość parametru wiedząc, że odległość punktu od prostej to długość najkrótszego odcinka o jednym końcu w danym punkcie i drugim końcu należącym do prostej. Por. 231393.htm
szw1710

Obliczyć odległość punktu od prostej w przestrzeni

Post autor: szw1710 »

Sądzę, że w ten sposób można dość łatwo wyprowadzić wzór ogólny.
lukasz1804
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

Obliczyć odległość punktu od prostej w przestrzeni

Post autor: lukasz1804 »

Oczywiście, że można.
Niech dany będzie punkt \(\displaystyle{ A=(a_1,a_2,\ldots,a_n)\in\mathbb{R}^n}\) oraz prosta \(\displaystyle{ l}\) o postaci parametrycznej \(\displaystyle{ x_i=x_i^0+\alpha_it}\), gdzie \(\displaystyle{ x_i^0, \alpha_i\in\mathbb{R}}\) dla \(\displaystyle{ 1\le i\le n}\). Zatem dowolny punkt \(\displaystyle{ B_t}\) na prostej \(\displaystyle{ l}\) ma współrzędne \(\displaystyle{ B_t=(x_1^0+\alpha_1t,x_2^0+\alpha_2t,\ldots,x_n^0+\alpha_nt)}\).
Ze wzoru na odległość punktów w przestrzeni mamy
\(\displaystyle{ |AB_t|=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i^0-a_i+\alpha_it)^2}=\sqrt{\sum_{i=1}^n\left[\alpha_i^2t^2+2\alpha_i(x_i^0-a_i)t+(x_i^0-a_i)^2\right]}=\sqrt{\left(\sum_{i=1}^n\alpha_i^2\right)t^2+\left(\sum_{i=1}^n2\alpha_i(x_i^0-a_i)\right)t+\sum_{i=1}^n(x_i^0-a_i)^2}=}\).
Zatem funkcja \(\displaystyle{ t\mapsto|AB_t|^2}\) jest funkcją kwadratową i jej minimalna wartość jest osiągana dla \(\displaystyle{ t=\frac{\sum_{i=1}^n\alpha_i(a_i-x_i^0)}{\sum_{i=1}^n\alpha_i^2}}\). Oczywiście dla tej samej wartości \(\displaystyle{ t}\) długość odcinka \(\displaystyle{ |AB_t|}\) realizuje minimum.
Tym samym odległość punktu \(\displaystyle{ A}\) od prostej \(\displaystyle{ l}\) wynosi
\(\displaystyle{ d=\sqrt{\sum_{j=1}^n\left(x_j^0-a_j+\alpha_j\frac{\sum_{i=1}^n\alpha_i(a_i-x_i^0)}{\sum_{i=1}^n\alpha_i^2}\right)^2}}\)
Oczywiście powyższa zależność ma sens także w przypadku, gdy punkt \(\displaystyle{ A}\) należy do prostej \(\displaystyle{ l}\).

Przy okazji warto też zauważyć, że na podstawie wyznaczonej wartości parametru \(\displaystyle{ t}\) można także podać współrzędne rzutu prostopadłego punktu \(\displaystyle{ A}\) na prostą \(\displaystyle{ l}\), jak również można łatwo wyznaczyć współrzędne punktu symetrycznego do \(\displaystyle{ A}\) względem tej prostej,
ODPOWIEDZ