czy jest ktoś w stanie napisać mi, albo wyjaśnić, jak się robi wektory, które są względem siebie prostopadłe ale w danej płaszczyźnie, nie chodzi mi o wektor normalny, prostopadły do płaszczyzny, tylko żeby 2 wektory były w danej płaszczyźnie, czyli równoległe względem niej, i jednocześnie żeby były prostopadłe do siebie. można taką zależność wykorzystać np. w zadaniu typu:
masz podane równanie płaszczyzny, wyznacz w nim jakiś kwadrat
przykładowo: \(\displaystyle{ 2x-y-z=0}\)
miałem takie zadanie na kolokwium i nie wiem kompletnie jak się za nie zabrać ;/
proszę o pomoc
wektory prostopadłe i równoległe względem płaszczyzny
-
- Użytkownik
- Posty: 164
- Rejestracja: 25 lip 2006, o 22:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 36 razy
wektory prostopadłe i równoległe względem płaszczyzny
Najpierw ustal jaki jest wektor normalny do płaszczyzny:
\(\displaystyle{ \vec{n}=[2,-1,-1]}\)
Dalej wyznacz dwa wektory liniowo niezależne prostopadłe do niego. Będą one równoległe do danej płaszczyzny. Np:
\(\displaystyle{ \vec{v_1}= [0,1,-1] \\
\vec{v_2}= [ \frac{1}{2},0,1]}\)
Te wektory generują płaszczyznę. Niestety nie są prostopadłe.
Zastosujemy ortogonalizację Grama-Schmidta.
\(\displaystyle{ \vec{u_1}= \vec{v_1} = [0,1,-1] \\
\vec{u_2}= \vec{v_2}- \frac{ \vec{u_1}\circ \vec{v_2} }{ \vec{u_1}\circ \vec{u_1} } \ \vec{u_1}}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ \vec{u_2}= [ \frac{1}{2},0,1]- \frac{-1}{2} \dot [0,-1,-1]=[\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}]}\)
Łatwo sprawdzić, że: \(\displaystyle{ \vec{u_1} \circ \vec{u_2}=0}\)
Jeżeli jeszcze chcielibyśmy otrzymać wektory jednostkowe, to należy każdy z nich podzielić przez jego długość.
Jeśli chodzi o zadanie z kwadratem to obierz jakikolwiek punkt na płaszczyźnie np: (0,0),
dodaj współrzędne wektorów jednostkowych i otrzymasz dwa następne wierzchołki. Bez problemu wyznaczysz czwarty wierzchołek.
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ \vec{n}=[2,-1,-1]}\)
Dalej wyznacz dwa wektory liniowo niezależne prostopadłe do niego. Będą one równoległe do danej płaszczyzny. Np:
\(\displaystyle{ \vec{v_1}= [0,1,-1] \\
\vec{v_2}= [ \frac{1}{2},0,1]}\)
Te wektory generują płaszczyznę. Niestety nie są prostopadłe.
Zastosujemy ortogonalizację Grama-Schmidta.
\(\displaystyle{ \vec{u_1}= \vec{v_1} = [0,1,-1] \\
\vec{u_2}= \vec{v_2}- \frac{ \vec{u_1}\circ \vec{v_2} }{ \vec{u_1}\circ \vec{u_1} } \ \vec{u_1}}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ \vec{u_2}= [ \frac{1}{2},0,1]- \frac{-1}{2} \dot [0,-1,-1]=[\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}]}\)
Łatwo sprawdzić, że: \(\displaystyle{ \vec{u_1} \circ \vec{u_2}=0}\)
Jeżeli jeszcze chcielibyśmy otrzymać wektory jednostkowe, to należy każdy z nich podzielić przez jego długość.
Jeśli chodzi o zadanie z kwadratem to obierz jakikolwiek punkt na płaszczyźnie np: (0,0),
dodaj współrzędne wektorów jednostkowych i otrzymasz dwa następne wierzchołki. Bez problemu wyznaczysz czwarty wierzchołek.
Pozdrawiam.