wektory prostopadłe i równoległe względem płaszczyzny

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
mipi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 28 lut 2008, o 18:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: oleśnica
Podziękował: 1 raz

wektory prostopadłe i równoległe względem płaszczyzny

Post autor: mipi »

czy jest ktoś w stanie napisać mi, albo wyjaśnić, jak się robi wektory, które są względem siebie prostopadłe ale w danej płaszczyźnie, nie chodzi mi o wektor normalny, prostopadły do płaszczyzny, tylko żeby 2 wektory były w danej płaszczyźnie, czyli równoległe względem niej, i jednocześnie żeby były prostopadłe do siebie. można taką zależność wykorzystać np. w zadaniu typu:

masz podane równanie płaszczyzny, wyznacz w nim jakiś kwadrat
przykładowo: \(\displaystyle{ 2x-y-z=0}\)

miałem takie zadanie na kolokwium i nie wiem kompletnie jak się za nie zabrać ;/
proszę o pomoc
Marmat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 164
Rejestracja: 25 lip 2006, o 22:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 36 razy

wektory prostopadłe i równoległe względem płaszczyzny

Post autor: Marmat »

Najpierw ustal jaki jest wektor normalny do płaszczyzny:
\(\displaystyle{ \vec{n}=[2,-1,-1]}\)
Dalej wyznacz dwa wektory liniowo niezależne prostopadłe do niego. Będą one równoległe do danej płaszczyzny. Np:
\(\displaystyle{ \vec{v_1}= [0,1,-1] \\
\vec{v_2}= [ \frac{1}{2},0,1]}\)

Te wektory generują płaszczyznę. Niestety nie są prostopadłe.
Zastosujemy ortogonalizację Grama-Schmidta.
\(\displaystyle{ \vec{u_1}= \vec{v_1} = [0,1,-1] \\
\vec{u_2}= \vec{v_2}- \frac{ \vec{u_1}\circ \vec{v_2} }{ \vec{u_1}\circ \vec{u_1} } \ \vec{u_1}}\)

Czyli:
\(\displaystyle{ \vec{u_2}= [ \frac{1}{2},0,1]- \frac{-1}{2} \dot [0,-1,-1]=[\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}]}\)
Łatwo sprawdzić, że: \(\displaystyle{ \vec{u_1} \circ \vec{u_2}=0}\)
Jeżeli jeszcze chcielibyśmy otrzymać wektory jednostkowe, to należy każdy z nich podzielić przez jego długość.
Jeśli chodzi o zadanie z kwadratem to obierz jakikolwiek punkt na płaszczyźnie np: (0,0),
dodaj współrzędne wektorów jednostkowych i otrzymasz dwa następne wierzchołki. Bez problemu wyznaczysz czwarty wierzchołek.
Pozdrawiam.
ODPOWIEDZ