Rzut punktu na prostą

[hotice]

Hej, jak się zabrać za to zadanie bo mi wychodzi źle
Znaleźć rzut punktu P=(1,0,-3) na prostą \(\displaystyle{ \frac{x}{2}= \frac{y-1}{-1} = \frac{z+1}{2}}\)

[lukasz1804]

Równanie prostej w postaci parametrycznej jest następujące: \(\displaystyle{ (0,1,-1)+t(3,-1,2)}\), więc dowolny punkt na prostej ma współrzędne postaci \(\displaystyle{ (3t,1-t,2t-1)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ t\in\mathbb{R}}\).
Rzut punktu \(\displaystyle{ P}\) na prostą to punkt \(\displaystyle{ P'}\) leżący na prostej w najkrótszej odległości od punktu \(\displaystyle{ P}\).
Mamy \(\displaystyle{ |PP'|=\sqrt{(3t-1)^2+(1-t)^2+(2t+2)^2}=\sqrt{14t^2+6}}\). Widać stąd, że \(\displaystyle{ |PP'|}\) jest najmniejsze dla \(\displaystyle{ t=0}\), więc \(\displaystyle{ P'=(0,1,-1)}\).

[Marmat]

Wyznaczam równanie płaszczyzny prostopadłej do prostej przechodzącej przez punkt P.
Wektor równoległy do prostej:\(\displaystyle{ \vec{n} =[3,-1,2]}\)jest wektorem normalnym płaszczyzny.
Równanie płaszczyzny:
\(\displaystyle{ \pi : \\3(x-1)-y+2(z+3)=0 \\
3x-y+2z+3=0}\)
Znajduję punkt wspólny płaszczyzny z prostą.
Z równania parametrycznego prostej wyznaczam x, y, z i podstawiam do równania płaszczyzny:
\(\displaystyle{ \frac{x}{3}= \frac{y-1}{-1} = \frac{z+1}{2}=t}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=3t\\y=-t+1\\z=2t-1\end{cases}}\)
Stąd wyznaczam t=0, podstawiam do równania prostej i otrzymuję współrzędne punktu:
\(\displaystyle{ P_1=(0,1,-1)}\) i jest to szukany rzut prostopadły punktu na prostą.
Pozdrawiam.