Wyznacz równanie stycznej do hiperboli

[Samick]

Proszę o rozwiązanie tego zadania. Kompletnie nie mam pojęcia jak to zrobić.

Wyznacz równianie stycznej do hiperboli \(\displaystyle{ xy=5}\) prostopadłej do \(\displaystyle{ x-3y+3=0}\)

Proszę też o wytłumaczenie tego przykładu.

[szw1710]

1. Wyliczamy z równania prostej \(\displaystyle{ y=\dots}\).
2. Korzystamy z warunku prostopadłości prostych pisząc równanie prostej prostopadłej.
3. Dobieramy wyraz wolny w tym równaniu tak, aby zbiór rozwiązań układu równań hiperboli i tej prostej był jednoelementowy.
4. Mamy gotową odpowiedź.

[Samick]

Prosta \(\displaystyle{ x-3y+3=0}\) po przekształceniu ma postać:

\(\displaystyle{ y= \frac{1}{3}x+1}\)

Warunek na prostopadłość dwóch prostych to \(\displaystyle{ a _{1} \cdot a _{2} =-1}\)
I z tego wyszło że aby proste były prostopadłe to \(\displaystyle{ a=-3}\). Wtedy wzór tej funkcji stycznej do hiperboli ma postać \(\displaystyle{ y=-3x+b}\). Tak?

Teraz powinienem rozwiązać ten układ równań ale brak mi wyrazu wolnego \(\displaystyle{ b}\) i nie wiem jak to zrobić.

\(\displaystyle{ \begin{cases}y=-3x+b \\ xy=5 \end{cases}}\)

Jakieś wskazówki?

[szw1710]

Masz układ równań z parametrem i dobierz \(\displaystyle{ b}\) tak, żeby układ miał dokładnie jedno rozwiązanie.

[Samick]

Czy to jest poprawna metoda? I czy wynik jest dobry?

\(\displaystyle{ xy=5}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{5}{x}}\)

\(\displaystyle{ \frac{5}{x}=-3x+b}\)
\(\displaystyle{ -3x ^{2}+bx-5}\)

\(\displaystyle{ \Delta=0}\)
\(\displaystyle{ 0=b ^{2} -60}\)
\(\displaystyle{ b= \sqrt{60} \vee b=- \sqrt{60}}\)