Znaleźć równanie prostej, na której leży wysokość

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
przemulala
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 74
Rejestracja: 4 gru 2011, o 15:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa / Lublin
Podziękował: 4 razy

Znaleźć równanie prostej, na której leży wysokość

Post autor: przemulala » 3 lut 2012, o 18:09

Witam!


"Znaleźć równanie prostej, na której leży wysokość wychodząca z wierzchołka \(\displaystyle{ C}\) w trójkącie o wierzchołkach \(\displaystyle{ A(-1, 2, 1), B(1, 1, -2), C(2, 3, 3)}\)."


Chciałbym dowiedzieć się, czy moje rozwiązanie jest prawidłowe a robię to następująco:

1. Wyznaczam wektory \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ AC}\).
2. Obliczam: \(\displaystyle{ (AB\times AC) \times AB}\) (iloczyny wektorowe).
3. Otrzymuję wektor o współrzędnych: \(\displaystyle{ v = [30, 3, -1]}\).

Czy ta prosta będzie miała po prostu równanie \(\displaystyle{ 30x+3y-z=0}\)? Zależy mi na wykorzystaniu informacji o wektorze (kierunek wysokości z wierzchołka \(\displaystyle{ C}\)), ponieważ nie za bardzo mam chęć bawić się z innymi rozwiązaniami - o ile to w ogóle możliwe.
Ostatnio zmieniony 3 lut 2012, o 19:27 przez miki999, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .

JankoS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3101
Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zarów
Pomógł: 635 razy

Znaleźć równanie prostej, na której leży wysokość

Post autor: JankoS » 3 lut 2012, o 19:19

Policzenie iloczynu skalarnego otrzymanego wektora i \(\displaystyle{ \vec{AB}}\) pokazuje, że nie są one prostopadłe. Zamiast iloczynu wektorowego liczyłbym iloczyn skalarny \(\displaystyle{ \vec{AB}}\) i \(\displaystyle{ \vec{CD}}\).

przemulala
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 74
Rejestracja: 4 gru 2011, o 15:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa / Lublin
Podziękował: 4 razy

Znaleźć równanie prostej, na której leży wysokość

Post autor: przemulala » 3 lut 2012, o 20:10

Tak, tylko skąd wziąć punkt \(\displaystyle{ D}\)? Rozumiem, że oznacza on punkt, w którym wysokość z wierzchołka \(\displaystyle{ C}\) "dotyka} podstawy?

JankoS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3101
Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zarów
Pomógł: 635 razy

Znaleźć równanie prostej, na której leży wysokość

Post autor: JankoS » 4 lut 2012, o 00:17

No niekoniecznie, byleby był różny od C i leżał na wektorze prostopadłym do podstawy. Może nim być (A, b, c).

przemulala
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 74
Rejestracja: 4 gru 2011, o 15:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa / Lublin
Podziękował: 4 razy

Znaleźć równanie prostej, na której leży wysokość

Post autor: przemulala » 4 lut 2012, o 09:38

Niestety nie rozumiem... Nie jestem najlepszy z geometrii :/


Zakładając, że \(\displaystyle{ D=(a, b, c)}\) z iloczynu skalarnego otrzymujemy następujące równanie:


\(\displaystyle{ 0 = 2(a-2)-(b-3)-3(c-3)}\)


przy czym \(\displaystyle{ AB=[2, -1, -3]}\).


Wg mojej wiedzy brakuje jeszcze dwóch równań aby znać dokładne położenie punktu \(\displaystyle{ D}\)... Będę wdzięczny za pomoc.

JankoS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3101
Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zarów
Pomógł: 635 razy

Znaleźć równanie prostej, na której leży wysokość

Post autor: JankoS » 4 lut 2012, o 12:04

Tutaj można przyjąć wartości dwóch zmiennych za dane z góry, trzecia się do nich "dopasuje". niech \(\displaystyle{ b=c=0}\) wtedy \(\displaystyle{ a=-4}\) i \(\displaystyle{ \vec{CD}=(-6,-3,-3)}\).

przemulala
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 74
Rejestracja: 4 gru 2011, o 15:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa / Lublin
Podziękował: 4 razy

Znaleźć równanie prostej, na której leży wysokość

Post autor: przemulala » 4 lut 2012, o 13:56

No OK... Wtedy wystarczyłoby już tylko napisać równanie prostej przechodzącej przez te dwa punkty, np. w postaci kierunkowej:

\(\displaystyle{ L: \frac{x - a_{1} }{ b_{1} - a_{1} }}\)

itd.

Nie rozumiem jednak momentu z "zerowaniem" współrzędnych. Wybierasz dowolne? Dlaczego akurat dwie? Z czego to wynika?

Marmat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 163
Rejestracja: 25 lip 2006, o 22:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 36 razy

Znaleźć równanie prostej, na której leży wysokość

Post autor: Marmat » 4 lut 2012, o 14:15

Twój sposób zasadniczo był dobry.
Źle obliczyłaś iloczyn wektorowy.
\(\displaystyle{ \vec{AB}=[2, -1, -3], \ \vec{AC}=[3,1,2]\\ \vec{w}= \vec{AB} \times \vec{AC}=[1,-7,5]\\ \vec{w} \times \vec{AB} = [26,13,13]}\)
To co otrzymałaś to wektor równoległy do szukanej prostej. Wynika to z definicji iloczynu wektorowego.
Wiemy, że prosta przechodzi przez punkt C. Można więc napisać równanie prostej:
\(\displaystyle{ \frac{x - 2 }{ 26}=\frac{y-3 }{ 13}=\frac{z-3}{13} \\ \frac{x - 2 }{2}=\frac{y-3 }{ 1}=\frac{z-3}{1}\\ \frac{x - 2 }{2}=y-3=z-3}\)
Pozdrawiam.

przemulala
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 74
Rejestracja: 4 gru 2011, o 15:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa / Lublin
Podziękował: 4 razy

Znaleźć równanie prostej, na której leży wysokość

Post autor: przemulala » 4 lut 2012, o 15:56

Świetnie! Serdecznie dziękuję

ODPOWIEDZ