Jakie warunki powinny spełniać współczynniki równania \(\displaystyle{ ax + by + c = 0}\), żeby prosta była styczną do okręgu o promieniu i środku w punkcie\(\displaystyle{ (0,0)}\) ?
Ja zaczłąłem robić od ułożenia równania:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2 + y^2 =1\\ ax+by+c =0 \end{cases}}\)
w końcowym rezultacie otrzymałem coś takiego:
\(\displaystyle{ a^2 + c^2 = (b^2+a^2)(c^2-b^2)}\)
I nie wiem czy to jest dobra postać rozwiązania, czy trzeba zrobić z tym coś więcej?
Styczna od okręgu.
-
Pancernik
- Użytkownik
- Posty: 634
- Rejestracja: 3 mar 2009, o 14:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 143 razy
Styczna od okręgu.
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2 + y^2 =1\\ ax+by+c =0 \end{cases}\\
\begin{cases} x^2 + y^2 =1\\ by =-ax-c \end{cases}\\
\begin{cases} x^2 + y^2 =1\\ y =\frac{-ax-c}{b} \end{cases}\\
x^2 + \left( \frac{-ax-c}{b}\right) ^2 =1\\
x^2+ \frac{a^2x^2+2acx+c^2}{b^2}-1=0 \\
b^2x^2+a^2x^2+2acx+c^2-b^2=0\\
\left( a^2+b^2\right) x^2+2acx-b^2+c^2=0\\
\Delta=\left( 2ac\right) ^2-4\left( a^2+b^2\right)\left( -b^2+c^2\right) =0\\
4a^2c^2-4\left( -a^2b^2+a^2c^2-b^4+b^2c^2\right)=0\\
a^2c^2 +a^2b^2-a^2c^2+b^4-b^2c^2=0\\
a^2b^2+b^4-b^2c^2=0\\
b^2\left( a^2+b^2-c^2\right) =0}\)
\begin{cases} x^2 + y^2 =1\\ by =-ax-c \end{cases}\\
\begin{cases} x^2 + y^2 =1\\ y =\frac{-ax-c}{b} \end{cases}\\
x^2 + \left( \frac{-ax-c}{b}\right) ^2 =1\\
x^2+ \frac{a^2x^2+2acx+c^2}{b^2}-1=0 \\
b^2x^2+a^2x^2+2acx+c^2-b^2=0\\
\left( a^2+b^2\right) x^2+2acx-b^2+c^2=0\\
\Delta=\left( 2ac\right) ^2-4\left( a^2+b^2\right)\left( -b^2+c^2\right) =0\\
4a^2c^2-4\left( -a^2b^2+a^2c^2-b^4+b^2c^2\right)=0\\
a^2c^2 +a^2b^2-a^2c^2+b^4-b^2c^2=0\\
a^2b^2+b^4-b^2c^2=0\\
b^2\left( a^2+b^2-c^2\right) =0}\)