Odległość punktu od prostej

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
nieOna3
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 135
Rejestracja: 28 sty 2012, o 20:37
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 25 razy

Odległość punktu od prostej

Post autor: nieOna3 »

Znaleźć odległość punktu \(\displaystyle{ \left P=( 1,-1,1\right)}\) od prostej \(\displaystyle{ l}\) przechodzącej przez punkty \(\displaystyle{ \left Q=( 3,1,-1\right)}\) i punkt wspólny prostej \(\displaystyle{ l _{1}}\) o przedstawieniu krawędziowym \(\displaystyle{ x-y-z+4=0,2x+y-z+3=0}\) i płaszczyzny \(\displaystyle{ }\) o równaniu \(\displaystyle{ \pi : 2x+3y-z+1=0}\).
Proszę o sprawdzenie czy dobrze zrobiłam to zadanie.
Najpierw przekształciłam równanie prostej \(\displaystyle{ l _{1}}\) na postać parametryczną i wyszło mi \(\displaystyle{ l _{1}: \left( x,y,z\right)=\left( 1,0,5\right) +t\left[ -2,1,-3\right]}\)
Prosta ta ma punkt wspólny z płaszczyzną \(\displaystyle{ \pi}\), nazwijmy go \(\displaystyle{ R=\left( 1-2t,t,5-3t\right)}\).
Podstawiając do równania płaszczyzny obliczam \(\displaystyle{ t=1}\), czyli \(\displaystyle{ R=\left( -1,1,2\right)}\)
\(\displaystyle{ R \in l,Q \in l}\) czyli \(\displaystyle{ \vec{QR}\parallel \vec{l}}\)
Po obliczeniach dostaje równanie prostej \(\displaystyle{ l: \left( x,y,z\right)=\left( -1,1,2\right)+t\left[ -4,0,3\right]}\)
Przyjmuje sobie jakiś punkt \(\displaystyle{ W \in l}\) taki że \(\displaystyle{ W=\left( -1-4t,1,2+3t\right),\vec{PW}=\left[ -4t-2,2,3t+1\right], \vec{PW}\perp \vec{l}}\).
Czyli ich iloczyn skalarny musi dać zero.
Po obliczeniach dostaje \(\displaystyle{ t= \frac{-11}{25},\vec{PW}=\left[ \frac{-6}{25},2, \frac{-8}{25} \right]}\)
Czyli szukana odległość będzie długością wektora \(\displaystyle{ \left| \vec{PW}\right| = \frac{10 \sqrt{26} }{25}}\), tak?
Proszę o sprawdzenie czy dobrze rozwiązałam to zadanie
Marmat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 164
Rejestracja: 25 lip 2006, o 22:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 36 razy

Odległość punktu od prostej

Post autor: Marmat »

Rozwiązanie jest dobre.
Końcówkę można by zrobić trochę inaczej.
\(\displaystyle{ d= \frac{\left| \vec{RP} \times \vec{RQ} \right| }{\left| \vec{RQ} \right| }}\)
Otrzymałem ten sam wynik. Pozdrawiam.
ODPOWIEDZ