Siema,
mam parę zadań z którym nie wiem jak sobie poradzić, postanowiłem je napisać w jednym poście ponieważ każde praktycznie z innego działu.
wycięto
4)Znajdz punkt symetryczny do: \(\displaystyle{ \pi : x-y-z+1=0 , P=(1,2,3)}\)
Z góry dzięki za pomoc!
Zadania z egzaminu
-
zadaniowy
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 1 lut 2012, o 15:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Uczelnia
Zadania z egzaminu
Ostatnio zmieniony 1 lut 2012, o 16:08 przez Qń, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Zostawiłem tylko zadanie pasujące do działu, resztę zadań proszę umieścić w odpowiednich działach.
Powód: Zostawiłem tylko zadanie pasujące do działu, resztę zadań proszę umieścić w odpowiednich działach.
-
Marmat
- Użytkownik
- Posty: 164
- Rejestracja: 25 lip 2006, o 22:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 36 razy
Zadania z egzaminu
Prawdopodobnie chodziło o znalezienie punktu symetrycznego do punktu P względem płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\)
Wektor normalny do płaszczyzny \(\displaystyle{ \vec{n}= [1, -1 -1]}\) jest wektorem równoległym do prostej prostopadłej do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) i przechodzącej przez punkt P. Równanie tej prostej:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-1=t \\y-2=-t \\z-3=-t \end{cases}}\)
Z tego równania obliczam x,y i z poczym podstawiam do równania płaszczyzny. Otrzymuję t=1.
Podstawiamy do równań prostej t=1 i otrzymujemy współrzędne punktu przecięcia prostej z płaszczyzną:
\(\displaystyle{ P_1=(2,1,2)}\)
Niech szukany punkt \(\displaystyle{ P_2=(x,y,z)}\)
\(\displaystyle{ \vec{PP_1}=[1,-1,-1] \\ \vec{P_1P_2}=[x-2,y-1,z-2]}\)
Wektory te są równe i wystarczy porównać współrzędne.
Stąd \(\displaystyle{ P_2=(3,0,1)}\)
pozdrawiam.
Wektor normalny do płaszczyzny \(\displaystyle{ \vec{n}= [1, -1 -1]}\) jest wektorem równoległym do prostej prostopadłej do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) i przechodzącej przez punkt P. Równanie tej prostej:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-1=t \\y-2=-t \\z-3=-t \end{cases}}\)
Z tego równania obliczam x,y i z poczym podstawiam do równania płaszczyzny. Otrzymuję t=1.
Podstawiamy do równań prostej t=1 i otrzymujemy współrzędne punktu przecięcia prostej z płaszczyzną:
\(\displaystyle{ P_1=(2,1,2)}\)
Niech szukany punkt \(\displaystyle{ P_2=(x,y,z)}\)
\(\displaystyle{ \vec{PP_1}=[1,-1,-1] \\ \vec{P_1P_2}=[x-2,y-1,z-2]}\)
Wektory te są równe i wystarczy porównać współrzędne.
Stąd \(\displaystyle{ P_2=(3,0,1)}\)
pozdrawiam.
Zadania z egzaminu
Miałem podobne zadanie a wręcz identyczne na Politechnice Wrocławskiej...
Zmienione zostały tylko dane i nie jestem wstanie wyliczyć t. Pomóżcie proszę, bo już mam dość tej algebry.
Znajdź punkt symetryczny do A (1,5,4) względem płaszczyzny -x+2y+z=1
Po przeniesieniu na jedną stronę: -x+2y+z-1=0
Nie potrafię obliczyć t proszę o rozwiązanie...
Zmienione zostały tylko dane i nie jestem wstanie wyliczyć t. Pomóżcie proszę, bo już mam dość tej algebry.
Znajdź punkt symetryczny do A (1,5,4) względem płaszczyzny -x+2y+z=1
Po przeniesieniu na jedną stronę: -x+2y+z-1=0
Nie potrafię obliczyć t proszę o rozwiązanie...
-
Radarsu
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 24 sty 2012, o 13:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: W-wa
- Podziękował: 2 razy
Zadania z egzaminu
\(\displaystyle{ \pi =-x+2y+z-1=0}\)
Z tego bierzemy wektor, czyli współczynniki przy zmiennych:
\(\displaystyle{ \vec{n}=[-1,2,1]}\)
Teraz odejmując kolejne punkty \(\displaystyle{ P=(1,5,4)}\) od zmiennych x, y, z, a jako wynik podstawiając kolejne dane z vec{n} pomnożone przez t otrzymujemy układ równań:
\(\displaystyle{ x-1=-t \Rightarrow x=-t+1}\)
\(\displaystyle{ y-5=2t \Rightarrow y=2t+5}\)
\(\displaystyle{ z-4=t \Rightarrow z=t+4}\)
Teraz to wyliczone x, y, z podstawiamy do równania płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi =-x+2y+z-1=0}\), co daje nam:
\(\displaystyle{ \pi =-(-t+1)+2(2t+5)+(t+4)-1=0}\)
Z tego mamy \(\displaystyle{ t=-2}\), a po podstawieniu do układu równań kilka linijek wyżej tego parametru \(\displaystyle{ t}\), otrzymujemy wartości \(\displaystyle{ x=3}\) \(\displaystyle{ y=1}\) \(\displaystyle{ z=2}\). Tym sposobem mamy punkt \(\displaystyle{ P_{1}=(3,1,2)}\). Teraz z tego tworzymy punkt \(\displaystyle{ PP_{2}=[x-3,y-1,z-2]}\), następnie znowu bierzemy nasz wektor \(\displaystyle{ \vec{n}=[-1,2,1]}\) i tworzymy taki oto układ równań:
\(\displaystyle{ x-3=-1 \Rightarrow x=2}\)
\(\displaystyle{ y-1=2 \Rightarrow y=3}\)
\(\displaystyle{ z-2=1 \Rightarrow z=3}\)
I tym sposobem nasza odpowiedź ostateczna, czyli współrzędne punktu symetrycznego to \(\displaystyle{ (2,3,3)}\).
Z tego bierzemy wektor, czyli współczynniki przy zmiennych:
\(\displaystyle{ \vec{n}=[-1,2,1]}\)
Teraz odejmując kolejne punkty \(\displaystyle{ P=(1,5,4)}\) od zmiennych x, y, z, a jako wynik podstawiając kolejne dane z vec{n} pomnożone przez t otrzymujemy układ równań:
\(\displaystyle{ x-1=-t \Rightarrow x=-t+1}\)
\(\displaystyle{ y-5=2t \Rightarrow y=2t+5}\)
\(\displaystyle{ z-4=t \Rightarrow z=t+4}\)
Teraz to wyliczone x, y, z podstawiamy do równania płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi =-x+2y+z-1=0}\), co daje nam:
\(\displaystyle{ \pi =-(-t+1)+2(2t+5)+(t+4)-1=0}\)
Z tego mamy \(\displaystyle{ t=-2}\), a po podstawieniu do układu równań kilka linijek wyżej tego parametru \(\displaystyle{ t}\), otrzymujemy wartości \(\displaystyle{ x=3}\) \(\displaystyle{ y=1}\) \(\displaystyle{ z=2}\). Tym sposobem mamy punkt \(\displaystyle{ P_{1}=(3,1,2)}\). Teraz z tego tworzymy punkt \(\displaystyle{ PP_{2}=[x-3,y-1,z-2]}\), następnie znowu bierzemy nasz wektor \(\displaystyle{ \vec{n}=[-1,2,1]}\) i tworzymy taki oto układ równań:
\(\displaystyle{ x-3=-1 \Rightarrow x=2}\)
\(\displaystyle{ y-1=2 \Rightarrow y=3}\)
\(\displaystyle{ z-2=1 \Rightarrow z=3}\)
I tym sposobem nasza odpowiedź ostateczna, czyli współrzędne punktu symetrycznego to \(\displaystyle{ (2,3,3)}\).