zadanie płaszczyzny...

[jaczek]

Wyznaczyć stałą \(\displaystyle{ k R}\) tak, aby płaszczyzny o równaniach:
\(\displaystyle{ x - y + z = 0}\);
\(\displaystyle{ 3x - y - z + 2 = 0}\);
\(\displaystyle{ 4 x - y - 2z + k = 0}\),
przecinały się wzdłuż prostej.

[W_Zygmunt]

Aby trzy płaszczyzny przecinały się wzdłuż jednej prostej, wszystkie wektory
normalne do nich muszą leżeć w jednej płaszczyźnie.
Czyli wyznacznik macierzy utworzonej z nich musi być równy zero i układ równań
(utworzonych z równań płaszczyzn) musi mieć rozwiązanie.
\(\displaystyle{ det(\left [\begin{array}{ccc}1& - 1&1\\ 3& - 1& - 1\\ 4& - 1& - 2\end{array} \right ] )\,=\,0}\)
Łatwo sprawdzić , że rząd tej macierzy wynosi 2.
Zatem aby układ równań
\(\displaystyle{ \left { \begin{array}{l} x - y + z\,=\,0\\ 3\cdot x - y - z\,=\, - 2\\ 4\cdot x - y - 2\cdot z\,=\, - k\end{array} \right}\)
miał rozwiązania, zgodnie z twierdzeniem Kroneckera-Capellego
rząd macierzy głównej układu, musi równać się rzędowi macierzy uzupełnionej
\(\displaystyle{ \left [\begin{array}{cccc}1& - 1&1&0\\ 3& - 1& - 1& - 2\\ 4& - 1& - 2&k\end{array} \right ]}\)
Czyli każdy podwyznacznik stopnia 3 musi być równy 0.
Wybieram sobie
\(\displaystyle{ det\left [\begin{array}{ccc}1 & - 1 & 0\\ 3& - 1& - 2\\ 4& - 1&k\end{array}\right ]\,=\,0}\)
stąd
\(\displaystyle{ 2\cdot k + 6\,=\,0}\)

[basia]

dlaczego rząd pierwszej macierzy jest równy 2?

[W_Zygmunt]

Wyznacznik (tu akurat każdej) podmacierzy stopnia 2, jest różny od zera.