Płaszczyzna prostopadła do płaszcz. i przech. przez punkt

[bvoytek119]

Witam.

Zadanie: Dana jest płaszczyzna o równaniu \(\displaystyle{ 2x-y+2z+1=0}\). Podaj równanie płaszczyzny prostopadłej przechodzącej prezz punkt \(\displaystyle{ A=(1,0,1)}\).

1.Warunek prostopadłości
\(\displaystyle{ aa _{1}+ bb _{1}+ cc _{1} =0}\)
2. Buduję układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2a_{1}-b_{1}+2c_{1}=0 \\ a_{1}+0b_{1}+c_{1}+1=0 \end{cases}}\)

I tutaj pierwsza wątpliwość, czy dodaje tę \(\displaystyle{ 1}\) na końcu czy nie? Z równania płaszczyzny \(\displaystyle{ ax+by+cz+d=0}\) wynika, że tak.

Następnie rozwiązuję układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{1}=-c_{1}-1 \\ 2a_{1}-b_{1}+2c_{1} \end{cases}}\)

po podstawieniu wyliczam
\(\displaystyle{ b_{1}= 3}\)

I dalej pchnąć tego nie mogę. Czy sposób rozwiązania jest w ogóle poprawny? Pozdrawiam

[kristoffwp]

Nie możesz przyjąć \(\displaystyle{ d_{1}=1}\), o ile chcesz to rozwiązać w ogólności. Istnieje nieskończenie wiele płaszczyzn spełniających warunki zadania. Warunki zapisz takie:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2a_{1}-b_{1}+2c_{1}=0 \\ a_{1}+0b_{1}+c_{1}+d_{1}=0 \end{cases}}\)

Teraz za, na przykład \(\displaystyle{ a_{1}}\) podstaw sobie na przykład \(\displaystyle{ 1}\). Potem rozwiąż układ dwóch równań z trzema niewiadomymi. Jedną musisz potraktować jak parametr. Otrzymasz równanie rodziny płaszczyzn, jednoparametrowe.-- 29 sty 2012, o 22:41 --Chociaż, jeśli za \(\displaystyle{ d_{1}}\) podstawisz jeden, to może i będzie dobrze, o ile postąpisz analogicznie