wektor normalny płaszczyzny

[ziolkowska]

Wskazać punkty, w których płaszczyzna \(\displaystyle{ \pi:(x,y,z)=(4,1,5)+s(1,1,-3)+t(1,1,-3)}\) przecina oś Ox i Oy.

Wyznaczyłam dwa wektory tworzące tę płaszczyznę: \(\displaystyle{ \vec{u}=[1,1,-3] , \vec{v}=[1,2,-3]}\)
I teraz z iloczynu wektorowego \(\displaystyle{ \vec{u} \times \vec{v}}\) wyliczyłam wektor normalny: \(\displaystyle{ \vec{n}=[3,0,1]}\). i wtedy wyszedł mi punkt przecięcia z osią Ox \(\displaystyle{ x=( \frac{-17}{30},0,0)}\). A w odpowiedziach jest tak samo, tylko bez minusa. i sprawdziłam, że jak wyznaczę wektor normalny z \(\displaystyle{ \vec{v} \times \vec{u}}\), to wtedy wyjdzie dobrze. Teraz pytanie: skąd mam wiedzieć, któy wektor normalny da mi właściwy końcowy wynik?

[Marmat]

Rozumiem, że wystąpił błąd w równaniu płaszczyzny i powinno być:
Wskazać punkty, w których płaszczyzna
\(\displaystyle{ \pi:(x,y,z)=(4,1,5)+s(1,1,-3)+t(1,2,-3)}\)
przecina oś Ox i Oy.
Dobrze wyznaczyłaś wektor normalny
\(\displaystyle{ \vec{n}=[3,0,1]}\)
Dalej nie rozumiem w jaki sposób wektor normalny wyznacz punkt przecięcia z osią ox.
Moim zdaniem dalej powinno być tak:
Wyznaczam punkt P należący do płaszczyzny biorąc np. s=0 i t=o.
Otrzymuję punkt: P(4,1,5).
Wyznaczam równanie płaszczyzny używając wektora normalnego i punktu P:
\(\displaystyle{ A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0}\)
\(\displaystyle{ 3(x-4)+0(y-1)+1(z-5)=0}\)
\(\displaystyle{ 3x+z-17=0}\)
Na osi OX wszystkie punkty mają współrzędne (x,0,0)
stąd y=0 i z=0. Podstawiam do równania płaszczyzny i obliczam x=17/3, więc punkt (17/3,0,0).
Analogicznie z osią Oy: x=0 i z=0 po podstawieniu otrzymamy sprzeczność -17=0, więc płaszczyzna nie przecina osi OY, jest do niej równoległa.
Więc przy ustaleniu równania płaszczyzny nie jest istotne, czy wektor normalny jest równy: [3,0,1] czy też [-3,0,-1].
Pozdrawiam