Równanie płaszczyzny zawierającej prostą i punkt

[darlowiak]

Równanie płaszczyzny zawierającej prostą i punkt:

\(\displaystyle{ l:}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=2-t \\ y=3+2t \\ z=1-2t \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ M(-4,0,1)}\)

totalnie nie ogarniam co tutaj zrobić?
układ z wstawieniem danych do równania na płaszczyznę \(\displaystyle{ Ax+Bx+Cz+D=0}\) ( podstawione do tego \(\displaystyle{ A,B,C}\) z prostej i \(\displaystyle{ x,y,z}\) z punktu ) ?
\(\displaystyle{ \begin{cases} A(2-t)+B(3+2t)+C(1-2t)+D=0 <<wstawilem z prostej\\ -4A+0B+C+D=0 << wstawiłem z punktu \end{cases}}\)

tyle napłodziłem opierając sie o post Arka (https://www.matematyka.pl/77419.htm)
postawiłem \(\displaystyle{ t_{1}=2}\) , \(\displaystyle{ t_{2}= -\frac{3}{2}}\) ,\(\displaystyle{ t_{3}= \frac{1}{2}}\)

i otrzymałem układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 0A+7B-3C+D=0 \\ \frac{1}{2}A+0B+4C+D=0 \\ \frac{3}{2}A+4B-0C+D=0 \\ -4A+0B+C+D=0 \end{cases}}\)

[Marmat]

Pomyliłeś się licząc dla t=-3/2, powinno być:
\(\displaystyle{ \frac {7}{2}A+0B+4C+D=0}\)
To zadanie można rozwiązać inaczej.
Niech punkt P będzie punktem prostej dla t=0, więc P(2,3,1).
Wektor równoległy do prostej :
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=x_0+at \\ y=y_0+bt \\ z=z_0+ct \end{cases}}\)
ma współrzędne: [ a,b,c]
więc u nas \(\displaystyle{ \vec{u}=[-1, 2, -2]}\)
Wektor PM
\(\displaystyle{ \vec{PM}=[ -6, -3, 0]}\)
Te dwa wektory wyznaczają wektor normalny płaszczyzny:
\(\displaystyle{ \vec{n}= \begin{bmatrix} i&j&k\\-1&2&-2\\-6&3&0\end{bmatrix}=i*\begin{bmatrix} 2&-2\\-3&0\end{bmatrix}-j*\begin{bmatrix} -1&-2\\-6&0\end{bmatrix}+k*\begin{bmatrix} -1&2\\-6&-3\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ =-6i+12j+15k=[ -6, 12, 15]}\)
Czyli A=-6, B=12, C=15
Równanie prostej wyraża się wzorem:
\(\displaystyle{ A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0}\)
Biorę punkt M(-4,0,1). Więc równanie płaszczyzny:
\(\displaystyle{ -6(x+4)+12(y-0)+15(z-1)=0}\)
ostatecznie: \(\displaystyle{ -2x+4y+5z-13=0}\)