Prosta przechodząca przez punkt i przecinająca osie

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
Wojtolino
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 263
Rejestracja: 2 sty 2010, o 12:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krosno / Poznań
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 17 razy

Prosta przechodząca przez punkt i przecinająca osie

Post autor: Wojtolino »

Witam!
Dany jest punkt \(\displaystyle{ D=(3,-2)}\). Trzeba wyznaczyć równanie prostej, która przecina osie układu w punktach \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) tak, że \(\displaystyle{ \left| AB\right| =4 \sqrt{5}}\). Niby proste, a mnie przystawia.
WBor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 18 sty 2012, o 14:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 1 raz

Prosta przechodząca przez punkt i przecinająca osie

Post autor: WBor »

skasowane... podrzucony pomysł nie do rozwiązania
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

Prosta przechodząca przez punkt i przecinająca osie

Post autor: mat_61 »

Wskazówka:

1)Równanie prostej: \(\displaystyle{ y=ax+b}\), współrzędne punktów:\(\displaystyle{ A(x_{A};0), B(0;y_{B})}\)

2) Dla punktu \(\displaystyle{ B}\): \(\displaystyle{ y_{B}=b}\), to dla punktu \(\displaystyle{ A}\): \(\displaystyle{ 0=ax_{A}+y_{B}}\) i dla punktu D: \(\displaystyle{ -2=3a+y_{B}}\)

3) Rozwiąż układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 0=ax_{A}+y_{B} \\ -2=3a+y_{B} \\ \sqrt{ x_{A}^{2}+y_{B}^{2}}=4 \sqrt{5} \end{cases}}\)
Wojtolino
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 263
Rejestracja: 2 sty 2010, o 12:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krosno / Poznań
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 17 razy

Prosta przechodząca przez punkt i przecinająca osie

Post autor: Wojtolino »

No właśnie - rozwiąż. Na to wiadomo, że wpadłem, tylko z tego dostajesz kosmiczny wielomian 4 stopnia, więc szukam innej opcji na rozwiązanie tego.
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

Prosta przechodząca przez punkt i przecinająca osie

Post autor: mat_61 »

Rzeczywiście wychodzi wielomian mający "nieładne" pierwiastki (jeżeli gdzieś się nie pomyliłem w obliczeniach).
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Prosta przechodząca przez punkt i przecinająca osie

Post autor: piasek101 »

Jeden (ale to mało) miałem \(\displaystyle{ 2}\). Chodzi o (a) - nie sprawdzałem czy był dobry.

[edit] Sprawdziłem - jest ok; ale pozostałe nieciekawe.
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

Prosta przechodząca przez punkt i przecinająca osie

Post autor: mat_61 »

Może w tym zadaniu chodzi tylko o równanie jednej z możliwych prostych?.
Jeżeli nie pomyliłem się w wyznaczeniu wielomianu dla zmiennej \(\displaystyle{ a}\):

\(\displaystyle{ W(a)=9a^4+12a^3-67a^2+12+4}\)

to faktycznie tak jak napisał piasek101 tylko jeden pierwiastek (który łatwo można wyznaczyć) jest "normalny" z punktu widzenia tego typu zadania. Pozostałe trzy raczej na ładne nie wyglądają i nie widzę, żeby były możliwe do wyznaczenia jakąś inną metodą niż skorzystanie z gotowych wzorów np. dla równań 3-go stopnia, po podzieleniu przez dwumian \(\displaystyle{ (x-2)}\):

Wojtolino
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 263
Rejestracja: 2 sty 2010, o 12:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krosno / Poznań
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 17 razy

Prosta przechodząca przez punkt i przecinająca osie

Post autor: Wojtolino »

No tylko że nietrudno zauważyć, że takie proste będą 3...
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

Prosta przechodząca przez punkt i przecinająca osie

Post autor: mat_61 »

Nie wydaje mi się, żeby ktoś sugerował, że jest jakaś wyjątkowa trudność w określeniu ilości prostych (akurat są cztery takie proste a nie trzy :P ).

Pokazanie rozwiązań sugeruje tylko, że nie ma wg mnie (co nie oznacza, że nie ma w ogóle) jakiegoś prostego sposobu rozwiązania zadania typu tw. Bezouta, grupowanie wyrazów, wzory skróconego mnożenia, tw. o pierwiastkach całkowitych lub wymiernych, wzory Viete'a itp.

Oczywiście określenie prostego jest pojęciem względnym, w końcu zarówno dla wielomianu 4-go jak i 3-go stopnia (jeden pierwiastek znamy) możemy skorzystać z gotowych wzorów na obliczenie pierwiastków.
Wojtolino
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 263
Rejestracja: 2 sty 2010, o 12:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krosno / Poznań
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 17 razy

Prosta przechodząca przez punkt i przecinająca osie

Post autor: Wojtolino »

Czyli musi być jakiś błąd w zadaniu, bo to maturalne A myślałem, że tylko ze mną tak źle Dzięki ludzie za pomoc
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

Prosta przechodząca przez punkt i przecinająca osie

Post autor: mat_61 »

A tak z ciekawości to skąd jest to zadanie?
Wojtolino
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 263
Rejestracja: 2 sty 2010, o 12:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krosno / Poznań
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 17 razy

Prosta przechodząca przez punkt i przecinająca osie

Post autor: Wojtolino »

Wiesz co, nie wiem jak się ten zbiór nazywa, ale moją Lubą do matury przygotowuję i przyniosła mi coś takiego ostatnio; jak już po trzech dniach nie miałem innego pomysłu to Wam podrzuciłem
ODPOWIEDZ