Wyznaczyć kąt między wektorami.

[mati1717]

Wyznaczyć kąt między wektorami \(\displaystyle{ \vec{a}}\) i \(\displaystyle{ \vec{b}}\), jeśli wiadomo, że \(\displaystyle{ |\vec{a}|=1, |\vec{b}|=2}\) oraz \(\displaystyle{ |\vec{a}-\vec{b}|^{2}+|\vec{a}+2\vec{b}|^{2}=20}\).

[Kacperdev]

Iloczyn skalarny+wzory skróconego mnożenia. Jedyne co mi do głowy przychodzi.

EDIT

Jak masz możliwość sprawdz czy wynikiem jest \(\displaystyle{ \alpha =120 ^{o}}\)

[mati1717]

\(\displaystyle{ |\vec{a}|=\sqrt{\vec{a}\circ\vec{a}}}\)
Pisząc o iloczynie skalarnym miałeś na myśli powyższą postać??

Ja próbowałem rozpisać te wektory według powyższego wzoru z niewiadomymi i wychodzi mi:
\(\displaystyle{ 1=x_{a}^{2}+y_{a}^{2}+z_{a}^{2}}\) analogicznie \(\displaystyle{ 4=x_{b}^{2}+y_{b}^{2}+z_{b}^{2}}\)

Następnie podnosiłem do potęgi to równanie z \(\displaystyle{ 20}\)

W ten sposób też to robiłeś ?? Jak podnoszę to drugie równanie do potęgi to mam masakrę jakąś z tymi \(\displaystyle{ x,y,z}\).

P.S. Wyniku niestety nie mam do tego zadania :/

[Kacperdev]

Nie. Taka postać, która podałeś jest zupełnie niepotrzebna w tym zadaniu. W końcu chodzi nam o kąt miedzy wektorami.

\(\displaystyle{ \vec{a}\circ \vec{b}=\left| \vec{a} \right|\left| \vec{b} \right|\cos \alpha}\)

Należy to wykorzystać rozpisująć wzory skróconego mnożenia w podanym równaniu

[mati1717]

\(\displaystyle{ |\vec{a}|=\frac{\vec{a}\circ\vec{b}}{|\vec{b}|\cos\alpha}}\) W ten sposób ?

[Kacperdev]

\(\displaystyle{ |\vec{a}-\vec{b}|^{2}+|\vec{a}+2\vec{b}|^{2}=20=1-4\cos \alpha +4+1+8\cos \alpha +16}\)

\(\displaystyle{ 1-4\cos \alpha +4+1+8\cos \alpha +16=20}\)

\(\displaystyle{ 4\cos \alpha=-2}\)

\(\displaystyle{ \cos \alpha = -\frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \alpha = 120^{\circ}}\)

[mati1717]

Zachodzi taka równość ??
\(\displaystyle{ |\vec{a}-\vec{b}|^{2}=|\vec{a}-\vec{b}|\circ |\vec{a}-\vec{b}|}\)
W myśli powyższej równości doszedłem tym sposobem do Twojego wyniku ale nie wiem co się dzieje z tym modułem...

[Majeskas]

Zachodzi taka równość ??
\(\displaystyle{ |\vec{a}-\vec{b}|^{2}=|\vec{a}-\vec{b}|\circ |\vec{a}-\vec{b}|}\)

Zachodzi taka równość:

\(\displaystyle{ \lVert \vec a-\vec b\rVert^2=\left( \sqrt{\left(\vec a-\vec b \right)\circ \left(\vec a-\vec b \right)}\right)^2=\left(\vec a-\vec b \right)\circ \left(\vec a-\vec b \right)}\)

Czym w twojej równości miałby być iloczyn skalarny dwóch liczb?