Proste prostopadłe do płaszczyzn

[prawyakapit]

W przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\) dane są płaszczyzny:
A1:
\(\displaystyle{ x_{1}-x_{2}+2x_{3}+4=0}\)
A2:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x_{1}=2+t+s\\x_{2}=1+t-s\\x_{3}=3\end{array}}\)

Proste l1 i l2 przechodzą przez punkt \(\displaystyle{ A=(2,-1,3)}\) i są odpowiednio prostopadłe do płaszczyzn A1 i A2.

Od czego zacząć ?-- 16 sty 2012, o 18:30 --mam wyznaczyć równania tych prostych

[chris_f]

Pierwszą prostą masz już praktycznie gotową, jej wektorem kierunkowym będzie wektor normalny płaszczyzny \(\displaystyle{ A_1}\) czyli wektor \(\displaystyle{ [1,-1,2]}\) a punkt masz podany, więc piszesz od razu równanie prostej. Drugą prostą podobnie, tyle, że wektor normalny drugiej płaszczyzny znajdziesz biorąc iloczyn wektorowy dwóch wektorów rozpinających płaszczyznę \(\displaystyle{ [1,1,0],\ \ [1,-1,0]}\).

[prawyakapit]

Zatem \(\displaystyle{ l_{1}: \left\{\begin{array}{l} x_{1}=t+2\\x_{2}=-t-1\\x_{3}=2t+3\end{array}}\)

a \(\displaystyle{ l_{2}: \left\{\begin{array}{l} x_{1}=2\\x_{2}=-1\\x_{3}=3-2t\end{array}}\) ??

[chris_f]

Wszystko się zgadza.

[prawyakapit]

a jak teraz wyznaczyć kąt pomiędzy tymi prostymi ??

[chris_f]

Kąt między tymi prostymi możesz wyznaczyć jako kąt pomiędzy ich wektorami kierunkowymi, czyli wektorami \(\displaystyle{ \vec{u}=[1,-1,2]}\) i \(\displaystyle{ \vec{v}=[0,0,-2]}\). Najwygodniej skorzystać z iloczynu skalarnego, bo mamy
\(\displaystyle{ \vec{u}\circ\vec{v}=|\vec{u}|\cdot\vec{v}|\cdot\cos\angle(\vec{u},\vec{v})}\)
No a u nas
\(\displaystyle{ \vec{u}\circ\vec{v}=-4,\ |\vec{u}|=\sqrt{6},\ |\vec{v}|=2}\)
a zatem
\(\displaystyle{ -4=2\sqrt{6}\cos\angle(\vec{u},\vec{v})}\)
skąd
\(\displaystyle{ \cos\angle(\vec{u},\vec{v})=-\frac{2}{\sqrt{6}}}\)

[prawyakapit]

dzięki serdeczne ;]