Oblicz pole równoległoboku rozpiętego przez wektory

[kaczkadziwaczka22]

Witam serdecznie
Mam problem z rozwiązaniem zadania o treści:
Oblicz pole równoległoboku \(\displaystyle{ ABCD}\) leżącego na płaszczyźnie, rozpiętego przez wektory \(\displaystyle{ \vec{AB}= [2,-5]}\) i \(\displaystyle{ \vec{AD} = [3,4]}\) .
Wiem jak dokonać obliczeń w przestrzeni \(\displaystyle{ ^{R3}}\) , natomiast w tym przypadku nie wiem jak się do tego zabrać. Z góry dziękuję za wszystkie sugestie

[Freddy Eliot]

W \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{2}}\) rozwiązujesz analogicznie. Jeśli Ci to jakoś ułatwi to trzecią współrzędną wektorów traktuj jako \(\displaystyle{ 0.}\) Korzystasz ze wzoru: \(\displaystyle{ P_{ABCD}=| \overrightarrow{AB}| | \overrightarrow{AD}|\sin \varphi,}\) gdzie \(\displaystyle{ \varphi}\) obliczamy przy pomocy wzoru: \(\displaystyle{ \cos \varphi = \frac{ \overrightarrow{AB}\circ \overrightarrow{AD}}{| \overrightarrow{AB}|| \overrightarrow{AD}|}}\)

[KubabuK]

Ups, chyba ktoś mnie uprzedził. Ale dodam tego posta, bo się dużo namęczyłem, żeby to napisać w tym LaTeXie.
Ja bym spróbował tak:
Ponieważ \(\displaystyle{ \textbf{ABCD}}\) jest równoległobokiem, to: (zaraz wyjaśnię co to za kąty
\(\displaystyle{ \alpha}\), \(\displaystyle{ \beta}\) i \(\displaystyle{ \gamma}\)) \(\displaystyle{ P_{ABCD}=2P_{ABD}=2\cdot\frac{1}{2}\cdot\ AB\cdot\ AD\cdot\sin\alpha=AB\cdot\ AD\cdot(\sin\beta\cdot\cos\gamma+\cos\beta\cdot\sin\gamma)}\)
\(\displaystyle{ \alpha}\) to kąt między AB i AD
\(\displaystyle{ \beta}\) i \(\displaystyle{ \gamma}\) to kąty, na które prosta równoległa do osi OX i przechodząca przez punkt A dzieli kąt \(\displaystyle{ \alpha}\).
Z Pitagorasa mamy: \(\displaystyle{ AB=\sqrt{29}}\)i\(\displaystyle{ AD=5}\)
Łatwo obliczyć, że:\(\displaystyle{ \sin\beta\cdot\cos\gamma+\cos\beta\cdot\sin\gamma=\frac{5}{\sqrt{29}}\cdot\frac{3}{5}+\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{\sqrt{29}}=\frac{23}{5\cdot\sqrt{29}}}\)
Zatem \(\displaystyle{ P_{ABCD}=\sqrt{29}\cdot5\cdot\frac{23}{5\cdot\sqrt{29}}=23}\)

Ale chyba jest prostszy sposób.-- 14 sty 2012, o 18:14 --Gwoli ścisłości: kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) jest wypukłym kątem między AB i AD, nie tym drugim, wklęsłym.

[kaczkadziwaczka22]

Bardzo dziękuję za pomoc