wyznacz punkt
wyznacz punkt
dana jest prosta x+y=4.na krzywej o rownaniu x^2+y=0 wyznacz punkt, ktorego odleglosc od prostej jest najmniejsza
-
baksio
- Użytkownik
- Posty: 464
- Rejestracja: 31 maja 2006, o 22:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zamość/Kraków
- Podziękował: 16 razy
- Pomógł: 136 razy
wyznacz punkt
korzystamy ze wzoru:
\(\displaystyle{ d=\frac{|A*x_0 + B*x_0 + C|}{\sqrt{A^2+B^2}}}\)
\(\displaystyle{ P(x_0,-x_{0}^2)}\)
\(\displaystyle{ d=\frac{|1*x_0 + 1*-x_{0}^2 -4|}{\sqrt{2}} = \frac{|x_{0}^2 - x_{0}+4|}{\sqrt{2}}}\)
Dostajemy funkcję zależną od \(\displaystyle{ x_0}\). Jak widać \(\displaystyle{ x_{0}^2 - x_0 + 4}\) zawsze większe od \(\displaystyle{ 0}\) więc możemy opuścić wartośc bezwględną. Nasza funkcja będzie wyglądać tak:
\(\displaystyle{ f(x_0)= \frac{\sqrt{2}}{2}*(x_{0}^2 - x_0 + 4)}\)
Wyznaczamy pochodną i szukamy minimum funkcji:
\(\displaystyle{ f'(x_0)= \frac{\sqrt{2}}{2}(2x_0 - 1)}\)
\(\displaystyle{ f'(x_0)=0 x_0=\frac{1}{2}}\)
Po narysowaniu pochodnej widać że funkcja ma dla \(\displaystyle{ x_0=\frac{1}{2}}\) minimum więc szukany punkt to \(\displaystyle{ P(\frac{1}{2};-\frac{1}{4})}\)
\(\displaystyle{ d=\frac{|A*x_0 + B*x_0 + C|}{\sqrt{A^2+B^2}}}\)
\(\displaystyle{ P(x_0,-x_{0}^2)}\)
\(\displaystyle{ d=\frac{|1*x_0 + 1*-x_{0}^2 -4|}{\sqrt{2}} = \frac{|x_{0}^2 - x_{0}+4|}{\sqrt{2}}}\)
Dostajemy funkcję zależną od \(\displaystyle{ x_0}\). Jak widać \(\displaystyle{ x_{0}^2 - x_0 + 4}\) zawsze większe od \(\displaystyle{ 0}\) więc możemy opuścić wartośc bezwględną. Nasza funkcja będzie wyglądać tak:
\(\displaystyle{ f(x_0)= \frac{\sqrt{2}}{2}*(x_{0}^2 - x_0 + 4)}\)
Wyznaczamy pochodną i szukamy minimum funkcji:
\(\displaystyle{ f'(x_0)= \frac{\sqrt{2}}{2}(2x_0 - 1)}\)
\(\displaystyle{ f'(x_0)=0 x_0=\frac{1}{2}}\)
Po narysowaniu pochodnej widać że funkcja ma dla \(\displaystyle{ x_0=\frac{1}{2}}\) minimum więc szukany punkt to \(\displaystyle{ P(\frac{1}{2};-\frac{1}{4})}\)
Ostatnio zmieniony 4 lut 2007, o 19:38 przez baksio, łącznie zmieniany 1 raz.
-
wb
- Użytkownik
- Posty: 3507
- Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Brodnica
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1260 razy
wyznacz punkt
Punkty leżące na krzywej (na paraboli) mają postać:
\(\displaystyle{ (x;-x^2)}\)
Odległość takiego punktu od danej prostej wyraża sie wzorem:
\(\displaystyle{ \frac{|x-x^2-4|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{\sqrt2}{2}|-x^2+x-4|=\frac{\sqrt2}{2}(x^2-x+4)=\frac{\sqrt2}{2}x^2-\frac{\sqrt2}{2}x+2\sqrt2}\)
gdyż funkcja w wartości bezwzględnej jest dla każdego x ujemna.
Optymalną wartość odczytujemy w wierzchołku przy pomocy wzoru
\(\displaystyle{ p=-\frac{b}{2a}}\).
\(\displaystyle{ (x;-x^2)}\)
Odległość takiego punktu od danej prostej wyraża sie wzorem:
\(\displaystyle{ \frac{|x-x^2-4|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{\sqrt2}{2}|-x^2+x-4|=\frac{\sqrt2}{2}(x^2-x+4)=\frac{\sqrt2}{2}x^2-\frac{\sqrt2}{2}x+2\sqrt2}\)
gdyż funkcja w wartości bezwzględnej jest dla każdego x ujemna.
Optymalną wartość odczytujemy w wierzchołku przy pomocy wzoru
\(\displaystyle{ p=-\frac{b}{2a}}\).
Ostatnio zmieniony 4 lut 2007, o 21:15 przez wb, łącznie zmieniany 1 raz.