Witam. Na początek treść zadania:
Zbadać wzajemne położenie trzech płaszczyzn w zależności od parametru:
\(\displaystyle{ H_1: mx + my + (m+1)z = m \\
H_2: mx + my + (m-1)z = m \\
H_3: (m+1)x + my + (2m + 3)z = 1 \\}\)
Rozumiem, że rozwiązanie zadania sprowadza się do analizy rozwiązywalności układu trzech równań przy pomocy tw. Kroneckera-Capellego. Zastanawiam się jakie przypadki wziąć pod uwagę:
- \(\displaystyle{ R(A) = R(A|B) < n}\) (rząd macierzy współczynników równy rzędowi macierzy dołączonej i mniejszy od liczby niewiadomych) - daje nam to rozwiązanie zależne od jednego parametru, czyli jak rozumiem płaszczyzny przecinają się w prostej?
- \(\displaystyle{ R(A) = R(A|B) = n}\) - jedno konkretne rozwiązanie, czyli płaszczyzny przecinają się w punkcie?
-\(\displaystyle{ R(A) < R(A|B)}\) - układ sprzeczny, czyli wszystkie 3 płaszczyzny albo są jedną płaszczyzną, albo są do siebie równoległe.
Czy coś poza "leżeniem" w jednej płaszczyźnie i równoległością może jeszcze wystąpić? W jaki sposób to wychwycić z analizy równań? A może istnieje jakiś zgrabniejszy sposób policzenia tego (nie wiem, badanie wektorów normalnych?)?.
Pomoże ktoś?