Prosta z parametrem

[Eleenth]

Treść zadania.

Dana jest prosta l oraz płaszczyzna \(\displaystyle{ \pi}\). Wyznaczyć wartości parametru \(\displaystyle{ a}\), dla którego:
a) prosta l przecina płaszczyznę \(\displaystyle{ \pi}\)
b) prosta l jest równoległa do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\)
c) prosta l leży w płaszczyźnie \(\displaystyle{ \pi}\)

\(\displaystyle{ l: \begin{cases} x=t\\ y=at \\ z=2-t\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \pi : 3 a^{2}x + ay + z - 4a = 0}\)

Próbowałem sam rozwiązać, ale nie mam pojęcia jak to zrobić. W podpunkcie b) szukałem wzoru na równoległość i znalazłem tylko dla płaszczyzn, z którego wynikało, że ilorazy poszczególnych wartości \(\displaystyle{ (x,y,z)}\) wektorów kierunkowych są sobie równe.

Proszę o w miarę dokładne rozwiązanie wraz z objaśnieniami, bo chce się tego nauczyć, a nie mieć zrobione.

Z góry dziękuje.

[lukasz1804]

Rozważmy najpierw b) i c), a na końcu a).

Aby prosta była równoległa do płaszczyzny, odległość dowolnego punktu na prostej od tej płaszczyzny musi być wielkością stałą. Jeśli jednak ta odległość jest zerowa, to prosta leży na płaszczyźnie, w przeciwnym razie jest do niej równoległa i nie ma z płaszczyzną punktów wspólnych.
Obierzmy dowolny punkt \(\displaystyle{ (x,y,z)=(t,at,2-t)}\) leżący na prostej, \(\displaystyle{ t\in\mathbb{R}}\). Ze wzoru na odległość punktu od płaszczyzny mamy

\(\displaystyle{ \frac{|3a^2\cdot t+a\cdot at+2-t-4a|}{\sqrt{(3a^2)^2+a^2+1^2}}=\frac{|(4a^2-1)t+2-4a|}{\sqrt{(3a^2)^2+a^2+1^2}}}\).

Aby dla pewnego \(\displaystyle{ a}\) liczba ta była stała, musi być ona niezależna od zmiennej \(\displaystyle{ t}\). To jest możliwe tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ 4a^2-1=0}\), tj. dla dwóch wartości parametru \(\displaystyle{ a}\). Przy tym dla jednej z nich mamy także \(\displaystyle{ 2-4a=0}\), wskutek czego licznik we wzorze na odległość punktu od płaszczyzny jest wtedy równy zeru i wówczas - jak zapowiedzieliśmy - prosta leży na płaszczyźnie. Dla drugiego pierwiastka równania \(\displaystyle{ 4a^2-1=0}\) otrzymujemy, że prosta jest równoległa do płaszczyzny i nie ma z nią punktów wspólnych.
W pozostałych przypadkach prosta oczywiście przecina płaszczyznę.