Znaleźć punkt symetryczny do \(\displaystyle{ P=\left( 1,1,0\right)}\) względem płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi : x + 2y-z=0}\)
Punkt \(\displaystyle{ P^{'}}\) jest symetryczny do punktu \(\displaystyle{ P}\) względem płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\), jeżeli spełnia warunek \(\displaystyle{ \vec{SP'} = - \vec{SP}}\), gdzie \(\displaystyle{ S}\) oznacza rzut prostopadły punktu \(\displaystyle{ P}\) na płaszczyznę \(\displaystyle{ \pi}\).
Niech \(\displaystyle{ l}\) oznacza prostą prostopadłą do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) i przechodzącą przez punkt \(\displaystyle{ P}\). Równanie parametryczne tej prostej ma postać : \(\displaystyle{ l : \begin{cases}x=1+t\\ y=1+2t \\ z = -t \end{cases} ; t \in \mathbb{R}}\).
Szukany rzut \(\displaystyle{ S}\) jest punktem wspólnym prostej \(\displaystyle{ l}\) i płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\). Jego współrzędne to : \(\displaystyle{ \left( 1+t,1+2t,-t\right)}\). Wstawiając je do równania płaszczyzny, otrzymujemy : \(\displaystyle{ 1 + t + 2\left( 1+2t\right) + t = 0}\) więc \(\displaystyle{ t=- \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ S = \left( \frac{1}{2} , 0 , \frac{1}{2} \right)}\)
Znajdźmy teraz punkt \(\displaystyle{ P'}\) :
\(\displaystyle{ P' = \left( x', y', z'\right)}\)
\(\displaystyle{ \vec{SP'} = \left( x'- \frac{1}{2} , y', z' - \frac{1}{2} \right)}\)
\(\displaystyle{ \vec{SP} = \left( \frac{1}{2} , 1 , - \frac{1}{2} \right)}\)
Korzystając z warunku : \(\displaystyle{ \vec{SP'} = - \vec{SP}}\) mamy :
\(\displaystyle{ P^{'} = \left( 0,-1,1\right)}\)
Dobrze ???