Rzut punktu na prostą.

[kondza]

Znaleźć rzut punktu \(\displaystyle{ P=\left( 3,5,4\right)}\) na prostą \(\displaystyle{ l : \begin{cases} x=-2t+1 \\ y=t \\ z=5 \end{cases}}\)

[chris_f]

Wektor kierunkowy prostej \(\displaystyle{ l}\) to: \(\displaystyle{ \vec{u}=[-2,1,0]}\). Na prostej tej obieramy punk \(\displaystyle{ Q}\), jego współrzędne to \(\displaystyle{ Q=(-2t+1,t,5)}\). Obliczmy współrzędne wektora, który będzie wektorem kierunkowym prostej rzutującej \(\displaystyle{ \vec{PQ}=[-2t+3,t-1,5]}\). Prosta rzutująca jest prostopadła do danej, a zatem ich wektory kierunkowe muszą być prostopadłe, skąd (z warunku prostopadłości wektorów) mamy
\(\displaystyle{ \vec{u}\circ\vec{v}=0}\)
\(\displaystyle{ -2(-2t+3)+1(t-1)+0\cdot5=0}\)
\(\displaystyle{ 5t=7}\)
\(\displaystyle{ t=\frac75}\)
I teraz obliczmy współrzędne punktu \(\displaystyle{ Q=\left(-\frac95,\frac75,5\right)}\).

[lsk14]

a skąd wziąłeś współrzędne wektora rzutującego?

[chris_f]

Wektor rzutujący jest wektorem kierunkowym prostej przechodzącej przez \(\displaystyle{ P}\) i prostopadłej do \(\displaystyle{ l}\). Dlatego znalazłem równanie prostej przechodzącej przez \(\displaystyle{ P}\) i przez jakiś punkt \(\displaystyle{ Q}\) na prostej \(\displaystyle{ l}\), tak, żeby ta prosta była prostopadła. No i przy okazji ten punkt \(\displaystyle{ Q}\) jest szukanym rzutem.
Wyobraź to sobie tak: punkt \(\displaystyle{ P}\) jest ustalony. Wybieramy jakikolwiek punkt \(\displaystyle{ Q}\) na danej prostej i zaczynami nim przesuwać po prostej (zmieniać wartość parametru \(\displaystyle{ t}\)). W pewnym momencie ustawimy tę ruchomą prostą tak, że będzie prostopadła do danej. Wtedy tym szukanym rzutem będzie ruchomy punkt.

[lsk14]

zastanawia mnie jeszcze że do rozwiązania zadania nie użyłeś w żadnym miejscu podanego punktu.

[chris_f]

Użyłem do obliczenia współrzędnych wektora \(\displaystyle{ \vec{PQ}}\)

[lsk14]

kurna głupieję możesz to rozpisać ?

[chris_f]

Jeszcze raz, bo chyba coś w rachunkach pokręciłem, teraz na spokojnie i nie w głowie.
Punkt \(\displaystyle{ P=(3,5,4)}\), \(\displaystyle{ \vec{u}=[-2,1,0]}\) - wektor kierunkowy \(\displaystyle{ l}\).

na prostej \(\displaystyle{ l}\) wybieram jakiś punkt \(\displaystyle{ Q=(-2t+1,t,5)}\).

obliczam współrzędne wektora \(\displaystyle{ \vec{v}=\vec{PQ}=[-2t+1-3,t-5,5-4]=[-2t-2,t-5,1]}\).

obliczam iloczyn skalarny \(\displaystyle{ \vec{u}\circ\vec{v}=-2(-2t-2)+1(t-5)+0\cdot1=4t+4+t-5=5t-1}\)

iloczyn skalarny musi być równy zeru (warunek prostopadłości), czyli

\(\displaystyle{ 5t-1=0}\)

\(\displaystyle{ t=\frac15}\).

Dla obliczonej wartości \(\displaystyle{ t}\) obliczamy współrzędne punktu \(\displaystyle{ Q}\)

\(\displaystyle{ Q=\left(-2\cdot\frac15+1,\frac15,5\right)=\left(\frac35,\frac15,5\right)}\)

i tak jak wcześniej wyjaśniałem jest to jednocześnie rzut punktu \(\displaystyle{ P}\) na prostą \(\displaystyle{ l}\) (oczywiście rzut prostokątny, bo w treści zadania nie ma mowy o rzucie w jakimś określonym kierunku, a domyślnie przyjmuje się, że mowa wtedy o rzucie prostokątnym).

[lsk14]

Wielkie dzięki