Znaleźć rzut prostopadły punktu \(\displaystyle{ P=\left( 1,2,-2\right)}\) na płaszczyznę \(\displaystyle{ \pi : x - 2y + 3z = 0}\)
Niech \(\displaystyle{ l}\) oznacza prostą prostopadłą do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) i przechodzącą przez punkt \(\displaystyle{ P}\). Równanie parametryczne tej prostej ma postać :
\(\displaystyle{ l : \begin{cases} x=1+t \\ y=2-2t \\ z=-2+3t \end{cases} ; t \in \mathbb{R}}\)
Szukany rzut \(\displaystyle{ P^{'}}\) jest punktem wspólnym prostej \(\displaystyle{ l}\) i płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\). Jego współrzędne to : \(\displaystyle{ \left( 1+t,2-2t,-2+3t\right)}\). Wstawiając je do równania płaszczyzny, otrzymujemy : \(\displaystyle{ 1+t -2\left( 2-2t\right) + 3\left( -2+3t\right) = 0}\) więc \(\displaystyle{ t= \frac{9}{14}}\)
\(\displaystyle{ P^{'} = \left( \frac{23}{14} , \frac{10}{14} , \frac{-1}{14} \right)}\)
Dobrze ???