Czy przez proste \(\displaystyle{ l_{1} : \begin{cases} 2x+3y-z-1=0 \\ x+y-3z=0 \end{cases}}\) i \(\displaystyle{ l_{2} : \begin{cases} x+5y+4z-3=0 \\ x+2y+2z-1=0 \end{cases}}\) można poprowadzić płaszczyznę ?
\(\displaystyle{ \vec{ a_{1} } = \left[ 2,3-1\right] \times \left[ 1,1,-3\right] = \left( -8,5,-1\right)}\)
\(\displaystyle{ \vec{ a_{2} } = \left[ 1,5,4\right] \times \left[ 1,2,2\right] = \left( 2,2,-3\right)}\)
Znajdźmy teraz dowolny punkt tych prostych, więc weźmy np. \(\displaystyle{ z=0}\) : otrzymujemy :
\(\displaystyle{ l_{1} : \frac{x+1}{-8} = \frac{y-1}{5} = \frac{z}{-1}}\)
\(\displaystyle{ l_{2} : \frac{x+ \frac{1}{3} }{2} = \frac{y- \frac{2}{3} }{2} = \frac{z}{-3}}\)
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc} \frac{2}{3} &- \frac{1}{3} &0\\-8&5&-1\\2&2&-3\end{array}\right| = 0}\)
A więc proste \(\displaystyle{ l_{1}}\) i \(\displaystyle{ l_{2}}\) są równoległe, a więc można poprowadzić płaszczyznę.
Dobrze ???