Wzajemne położenie prostej i okręgu

[zidanek43]

Witam mam problem zadaniem:
Określ wzajemne położenie prostej l i okręgu o, jeśli:
a) o: x2+y2+8x -2y+13=0 l: y=x

Czyli za y podstawiam x do równania o. Potem z tego co wyjdzie liczę deltę. I nie wiem co dalej... Może ktoś pomóc? Dokładnie i łopatologicznie wytłumaczyć? Z góry dzięki

[Freddy Eliot]

Jeżeli \(\displaystyle{ \Delta<0,}\) to równanie nie ma rozwiązań - prosta nie przecina okręgu w żadnym punkcie.
Gdy \(\displaystyle{ \Delta=0,}\) prosta jest styczna do okręgu.
Gdy \(\displaystyle{ \Delta>0,}\) prosta przecina okrąg w dwóch punktach.

[zidanek43]

Tak, tylko chodzi jeszcze o to, że mam z tego wyciągnąć x1 i y1 i x2 i y2 i na wykresie narysować okrąg. I nie wiem, jak dalej wyciągnąć x1 itd, z tego co mi wyjdzie po delcie '/

[Freddy Eliot]

Wzór okręgu ustalamy w ten sposób:
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+8x -2y+13=0, \\[2ex] (x^{2}+8x+16)+(y^{2}-2y+1)-17+13=0, \\[2ex] (x+4)^{2}+(y-1)^{2}=4.}\)

Równanie okręgu to: \(\displaystyle{ (x-x_{S})^{2}+(y-y_S)^{2}=r^{2},}\) gdzie \(\displaystyle{ S=(x_{S},y_{S})}\) jest środkiem okręgu, natomiast \(\displaystyle{ r}\) to jego promień.
Równanie na sprawdzenie położenia okręgu względem prostej rozwiązujesz tak jak zwykłe równanie kwadratowe.

[zidanek43]

Ludzie, ja nic nie rozumiem. Właśnie próbuję to rozwiązać i nic... Może ktoś rozwiązać ten przykład od początku do końca. Resztę już sam rozwiążę. Błagam was, mam takiego matematyka że nic nam nie wiem co do mnie mówi

[Freddy Eliot]

Ok, to lecimy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}+y^{2}+8x -2y+13=0\\ y=x \end{cases}\\ \begin{cases} y^{2}+y^{2}+8y -2y+13=0\\ y=x \end{cases}\\2y^{2}+6y+13=0\\ \Delta=36-8\cdot 13<0.}\)
Zatem prosta i okrąg nie będą się przecinały w żadnym punkcie.
Jeżeli chciałbyś rozwiązać to równanie geometrycznie, to rysujesz okrąg:

Wzór okręgu ustalamy w ten sposób:
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+8x -2y+13=0, \\[2ex] (x^{2}+8x+16)+(y^{2}-2y+1)-17+13=0, \\[2ex] (x+4)^{2}+(y-1)^{2}=4.}\)
Równanie okręgu to:\(\displaystyle{ (x-x_{S})^{2}+(y-y_S)^{2}=r^{2},}\) gdzie \(\displaystyle{ S=(x_{S},y_{S})}\) jest środkiem okręgu, natomiast to jego promień.

Rysujesz prostą \(\displaystyle{ l:\ y=x}\) i widzisz, że prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych.

[NiuniQ]

można też troszeczkę inaczej:
wyliczyć środek okręgu i jego promień (tak jak pisała Freddy Eliot) oraz odległość środka okręgu od prostej:
jeżeli promień<odległości brak punktów wspólnych
jeżeli promień=odległości 1 punkt wspólny
jeżeli promień>odległości 2 punkty wspólne

[zidanek43]

O, super. Dzięki
Tylko jeszcze mam pytanie, skąd się wzięły po 3 liczby w nawiasach w cytacie Freddy Eliot?

[Freddy Eliot]

Stosujemy tu taką sprytną sztuczkę żeby skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia: \(\displaystyle{ (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2},}\) tzn. dodajemy trzecią liczbę, a dalej ją odejmujemy.

[zidanek43]

Wszystko wiem. OK Nawet nie wiesz jak mi ratujesz tyłek. Dzięki jeszcze raz