Wyznacz równanie a) płaszczyzny; b) prostej ?

[tommat19]

Wyznacz równanie:
a) płaszczyzny H zawierającej prostą L:x=3t,y=-1+t,z=2 oraz punkt (1,2,3)
b) prostej L1 przechodzącej przez punkt B(0,0,1) i prostopadłej do płaszczyzny H1:x+y-z=5

proszę o podpowiedź jak to rozwiązać, jakimi wzorami itp. ? Z góry dziękuje -- 4 sty 2012, o 17:56 --b) \(\displaystyle{ H \Rightarrow \vec{w}=\left[1,1,-1\right]\perp H}\)
\(\displaystyle{ ( \vec{w} \perp H i L_{1} \perp H) \Rightarrow \vec{w}\parallel L_{1}}\)

\(\displaystyle{ B \in L_{1} \Rightarrow X_{0}(0,0,1) \in L_{1}}\)
\(\displaystyle{ \vec{w}\left[ 1,1,-1\right] \parallel L_{1}}\)

parametrycznej
\(\displaystyle{ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} x_{1}=0+1t\\x_{2}=0+1t\\x _{3}=1+(-1t)\\t \in R \end{array}}\)

\(\displaystyle{ L_{1}: \frac{ x_{1} }{1}= \frac{ x_{2} }{1}= \frac{ x_{3}-1 }{-1}}\)

dobrze ?

[chris_f]

b) dobrze,
w a) znajdź dwa punkty prostej L (wstawiając dwie dowolnie wybrane przez ciebie wartości parametru t) no i teraz masz znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty, liczysz np. dwa wektory utworzone przez te trzy punkty, zaczepiasz je w jednym wybranym i piszesz równanie parametryczne albo bierzesz ich iloczyn wektorowy dostając wektor normalny płaszczyzny, skąd masz współczynniki A, B, C równania płaszczyzny, D znajdziesz wykorzystując którykolwiek z punktów.

[tommat19]

nie rozumiem ? mogę podstawić za t dowolne liczby np. 1 i 2, tzn. że jak to policzę to x,y,z utworzą punkt, ale tylko jeden a jak drugi ? możesz to jakoś jaśniej przedstawić ? dale już wiem jak wyznaczyć płaszczyznę z trzech punktów.

[chris_f]

Jeżeli weźmiesz np. \(\displaystyle{ t=1}\) to po podstawieniu do równania parametrycznego prostej dostaniesz punkt \(\displaystyle{ P=(3,0,2)}\), natomiast inna wybrana wartość parametru np. \(\displaystyle{ t=2}\) jak sugerowałeś da drugi punkt \(\displaystyle{ B=(6,1,2)}\). A trzeci punkt masz podany w zadaniu.

[tommat19]

a jeżeli mam: wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt i równoległej do dwóch wektorów \(\displaystyle{ \vec{u}}\) i \(\displaystyle{ \vec{v}}\) to mogę skorzystać od razu z postaci parametrycznej płaszczyzny na podstawie podanych wektorów?

-- 5 sty 2012, o 14:10 --

Def. Równanie płaszczyzny ma postać \(\displaystyle{ A \left( x-x_{0} \right) +B \left( y-y_{0} \right) +C \left( z-z_{0} \right) =0}\), gdzie \(\displaystyle{ \left[ A, \ B, \ C \right]}\) to współrzędne wektora prostopadłego do płaszczyzny, a \(\displaystyle{ \left( x_{0}, \ y_{0}, \ z_{0} \right)}\) to współrzędne punktu, który do tej płaszczyzny należy.
a co gdy mam dwa punkty i wektor oraz punkt i dwa wektory ?

[chris_f]

Wszystkie te sytuacje sprowadzają się do tego samego.
I. Jeżeli masz punkt i dwa wektory to od razu piszemy równanie parametryczne płaszczyzny.
II. Jeżeli mamy dwa punkty i wektor, to dwa punkty wyznaczą nam drugi wektor i sytuacja jak w punkcie I.
Pomiędzy różnymi równaniami tej samej płaszczyzny możemy dowolnie przechodzić, tzn. od parametrycznej do ogólnej i na odwrót.
Twoja definicja to po prostu nieco inaczej zapisane równanie płaszczyzny w postaci ogólnej, które najczęściej spotyka się w postaci \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\).

[tommat19]

a jeszcze jedna wątpliwość w zbiorze zadań znalazłem zadanie gdzie mam podane dwa punkty A(2,-1,3) i B(1,4,2) oraz prostopadły wektor \(\displaystyle{ \vec{u}\left[ 3,1,5\right]}\), aby wyznaczyć postać parametryczna potrzebuje wektor \(\displaystyle{ \vec{v}}\) aby wyznaczyć ten wektor potrzebuje trzeci punkt jak dobrze zrozumiałem z tego co napisałeś, to teraz skąd go mam policzyć ?

[chris_f]

Jeżeli ten wektor \(\displaystyle{ \vec{u}}\) ma być prostopadły do szukanej płaszczyzny to sprawa jest dosyć oczywista:
I sposób - możesz najpierw napisać równanie ogólne płaszczyzny traktując ten wektor jako normalny płaszczyzny i wykorzystując jeden z podanych punktów a potem przejść z równania ogólnego do parametrycznego
II sposób - te dwa punkty dają nam jeden wektor leżący na płaszczyźnie, możesz bardzo szybko znaleźć drugi wektor leżący na płaszczyźnie znajdując wektor prostopadły do \(\displaystyle{ \vec{u}}\) i wektora \(\displaystyle{ \vec{AB}}\) licząc iloczyn wektorowy tych wektorów (ten wektor na pewno będzie leżał w szukanej płaszczyźnie - naszkicuj to sobie). Wtedy masz już dwa wektory płaszczyzny i punkt i od razu piszesz równanie parametryczne.

[tommat19]

\(\displaystyle{ \vec{AB} =\left[ -1,5,-1\right]}\)

\(\displaystyle{ \vec{u} \times \vec{AB}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\3&1&5\\2&-1&3\end{vmatrix}=\left[ 8,1,-5\right]}\)

H:\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x _{1}=2+t \cdot 3+S \cdot 8\\ x_{2}=-1+t \cdot 1+S \cdot 1 \\ x_{3}=3+t \cdot 5+S \cdot (-5) \\t,s \in R \end{array}}\)

dobrze ?

[chris_f]

Nie sprawdzałem rachunków, ale sposób jest dobry.