Geometria różniczkowa: przecinanie się normalnej z osią OZ

[Lunar]

Witam, w zadaniach z geometrii analitycznej z podstawami geometrii różniczkowej jest jedno takie:

Dla danej linii śrubowej:
\(\displaystyle{ L : r\left(t\right) = \left[ a \cos t , a \sin t , bt \right], a, b > 0, t \in \mathbb{R}.}\)
należy wykazać, że normalne N(t) krzywej L przecinają oś OZ.

Ok, trzeba to wykazać dla wszystkich t (zatem dla całej rozciągłości naszej krzywej helisy).
\(\displaystyle{ r^\prime \left(t\right)=\left[-a\sin t, a\cos t, b\right] = T\left(t\right) \\
r^{\prime\prime}\left(t\right)=\left[-a\cos t, -a\sin t, 0\right] \\
B\left(t\right) = r^\prime \left(t\right) \times r^{\prime\prime}\left(t\right) = \left[ab\sin t, -ab\cos t, a^2\right] \\
N\left(t\right) = B\left(t\right) \times T\left(t\right) = \left[-a\cos t\left(a^2+b^2\right), -a\sin t\left(a^2+b^2\right), 0\right]}\)
ten wektor normalny nas interesuje

Normalna N(t) to wektor wychodzący z dowolnego punktu krzywej o współrzędnych r(t).
Przykładowo dla \(\displaystyle{ t=0}\) byłby to punkt \(\displaystyle{ (a,0,0)}\) i przyłączony do niego wektor \(\displaystyle{ [-a^3 -ab^2, 0, 0]}\) to na oko widać, że zdecydowanie przejdzie przez oś OZ, czyli teza powinna być słuszna dla wszystkich t.

Ale jak to zrobić analitycznie? Gubię się w tym momencie.

Sporządziłem prostą normalną, w oparciu o punkt i wektor normalny N, o parametrycznym opisie:
l1:
\(\displaystyle{ x = a\cos t - a\cos t\left(a^2+b^2\right) \\
y = a\sin t - a\sin t\left(a^2+b^2\right) \\
z = bt + 0 \\
t \in \mathbb{R}}\)
(pierwszy element to współrzędne punktu, drugi to współrzędne wektora)

Z osią OZ pokrywa się prosta, którą najlepiej opisać punktem \(\displaystyle{ (0,0,0)}\) oraz wektorem \(\displaystyle{ k=[0,0,1]}\). Parametryczny opis tej prostej:
l2:
\(\displaystyle{ x = 0 \\
y = 0 \\
z = s \\
s \in \mathbb{R}}\)


Jak wykazać, że l1 i l2 się przecinają? Bardzo łatwo wykazać, że nie są równoległe, ale kurcze, wychodzi mi że są liniowo niezależne.. czy tak powinno być? Jak mam wykazać, że dla każdego t oraz s się przecinają (mają punkty wspólne)?
Jeśli podstawie \(\displaystyle{ x=x, y=y, z=z}\) to otrzymam jakiś bezsens:
\(\displaystyle{ 0 = \cos t \\
0 = \sin t \\
s = bt}\)

Proszę o pomoc.

[Psiaczek]

Sporządziłem prostą normalną, w oparciu o punkt i wektor normalny N, o parametrycznym opisie:

\(\displaystyle{ x = a\cos t - a\cos t(a^2+b^2) \\
y = a\sin t - a\sin t(a^2+b^2) \\
z = bt + 0 \\
t \in \mathbb{R}}\)
(pierwszy element to współrzędne punktu, drugi to współrzędne wektora)

Nie zabrakło czegoś w tym opisie? Jakiegoś parametru?

[Lunar]

O motyla noga!
<szrajbuje na kartce>
Faktycznie! Co ten nadmiar parametrów robi z mózgiem!
oś OZ:
\(\displaystyle{ x=0 \\
y=0 \\
z=0 + 1\cdot s_{1}\\
s_{1} \in R}\)
prosta normalna:
\(\displaystyle{ x=a\cos t - a\cos t\left(a^2+b^2\right)\cdot s_{2} \\
y=a\sin t - a\sin t\left(a^2+b^2\right)\cdot s_{2} \\
z=bt + 0\cdot s_{2} \\
s_{2} \in R}\)
Zrównujemy współrzędne:
\(\displaystyle{ a\cos t = a\cos t\left(a^2+b^2\right)\cdot s_{2} \\
a\sin t = a\sin t\left(a^2+b^2\right)\cdot s_{2} \\
s_{1}=bt}\)

\(\displaystyle{ 1 = \left(a^2+b^2\right)\cdot s_{2} \\
1 = \left(a^2+b^2\right)\cdot s_{2} \\
s_{1}=bt \\
\\
\frac{1}{a^2+b^2} = s_{2} \\
s_{1}=bt \\
a,b>0 \\
a,b=const \\
s_{1},s_{2},t \in R}\)
To wystarczy do dowodu?
Trochę nie jestem pewien, czy powinienem dzielić przez cost i sint (mogą mieć wartość 0).
Ale dla przypadku gdy są zerowe, to również spełniają swoje równania..

[Psiaczek]

To wystarczy do dowodu?

Dla mnie nawet tyle to za dużo, ale ogólnie podobnie bym rozumował. Dla ustalonego \(\displaystyle{ t}\) znajduję z pierwszego równania wartość parametru prostej, przy której \(\displaystyle{ x=0}\) (przy założeniu \(\displaystyle{ \cos t \neq 0}\)). Podstawiam do drugiego równania znalezioną wartość parametru i okazuje się, że dla niej jednocześnie \(\displaystyle{ y=0}\) , czyli oś \(\displaystyle{ OZ}\)została przecięta. Przypadek \(\displaystyle{ \cos t=0}\)- zaczynam rozumowanie od drugiego równania, bo wtedy sinus niezerowy (plusminus jeden).

[Lunar]

Tak jest. Ogólnie rzecz ujmując to po poleceniu należy się spodziewać, że wszystkie sint, cost i zależności od t powinny się uprościć, skrócić, jeśli dla wszystkich t (całej krzywej) ma zachodzić zadana zależność
I tak, dla bezpieczeństwa lepiej zbadać osobno \(\displaystyle{ cost=0}\) i \(\displaystyle{ sint=0}\) gdzie nie będzie dzielenia, a jedynie się ino wyzeruje wszystko.
To praca domowa, więc czynię na błysk
Dziękuję za pomoc, pochwała poszła ;D