Znajdź długość wektora a jeśli
\(\displaystyle{ \vec{a}=6 \vec{p}-8 \vec{q}}\)
p i q są wektorami jednostkowymi i ortogonalnymi
ja zrobiłem to tak:
\(\displaystyle{ \vec{a}= [6 \vec{p _{x} }-8 \vec{q_{x}},6 \vec{p _{y} }-8 \vec{q_{y}}]}\)
\(\displaystyle{ |\vec{a}|= \sqrt{(6 \vec{p _{x} }-8 \vec{q_{x}}) ^{2} +(6 \vec{p _{y} }-8 \vec{q_{y}}) ^{2} }}\)
z tego wyszło mi
\(\displaystyle{ \sqrt{200}}\)
tak jest dobrze?
Znajdź długość wektora a jeśli
-
szw1710
Znajdź długość wektora a jeśli
Niedobrze. Dla prostoty zapisu pomijam strzałki. Korzystam z własności iloczynu skalarnego. Z prostopadłości \(\displaystyle{ p,q}\) mamy \(\displaystyle{ p\circ q=0=q\circ p}\) oraz \(\displaystyle{ p\circ p=q\circ q=1}\) (bo są to wektory jednostkowe i stosuję wzór na długość wektora \(\displaystyle{ |w|=\sqrt{w\circ w}.}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ a=6p-8q}\).
Stąd
\(\displaystyle{ |a|^2=a\circ a=(6p-8q)\circ(6p-8q)=36p\circ p-48p\circ q-48q\circ p+64q\circ q=36+64=100.}\)
Zatem \(\displaystyle{ |a|=10.}\)
Mam jak w twierdzeniu Pitagorasa. Nic dziwnego, gdyż w układzie współrzędnych o wersorach \(\displaystyle{ p,q}\) wektor \(\displaystyle{ a}\) ma współrzędne \(\displaystyle{ [6,-8]}\), więc długość \(\displaystyle{ 10}\). Oczywiście nie miało żadnego znaczenia czy mam tu jakiś układ współrzędnych. W "zwykłym" układzie wektory \(\displaystyle{ p,q}\) nie muszą być postaci \(\displaystyle{ [1,0],\;[0,1]}\). Wystarczy, aby były długości jednostkowej i prostopadłe. Można też to narysować. Wektory \(\displaystyle{ 6p}\) i \(\displaystyle{ -8q}\) będą bokami prostokąta, a ich suma jest wektorem \(\displaystyle{ a}\) i zarazem przekątną prostokąta. Więc znowu twierdzenie Pitagorasa: musi mieć długość \(\displaystyle{ 10}\).
Zatem:
\(\displaystyle{ a=6p-8q}\).
Stąd
\(\displaystyle{ |a|^2=a\circ a=(6p-8q)\circ(6p-8q)=36p\circ p-48p\circ q-48q\circ p+64q\circ q=36+64=100.}\)
Zatem \(\displaystyle{ |a|=10.}\)
Mam jak w twierdzeniu Pitagorasa. Nic dziwnego, gdyż w układzie współrzędnych o wersorach \(\displaystyle{ p,q}\) wektor \(\displaystyle{ a}\) ma współrzędne \(\displaystyle{ [6,-8]}\), więc długość \(\displaystyle{ 10}\). Oczywiście nie miało żadnego znaczenia czy mam tu jakiś układ współrzędnych. W "zwykłym" układzie wektory \(\displaystyle{ p,q}\) nie muszą być postaci \(\displaystyle{ [1,0],\;[0,1]}\). Wystarczy, aby były długości jednostkowej i prostopadłe. Można też to narysować. Wektory \(\displaystyle{ 6p}\) i \(\displaystyle{ -8q}\) będą bokami prostokąta, a ich suma jest wektorem \(\displaystyle{ a}\) i zarazem przekątną prostokąta. Więc znowu twierdzenie Pitagorasa: musi mieć długość \(\displaystyle{ 10}\).